Suponha que a média de uma amostra de 50 pessoas tenha sido de 72 kg , com desvio padrão conhecido de 8 kg . Qual é o intervalo de confiança de 95 \% para a média populacional usando a tabela Z ?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede o intervalo de confiança de 95\% para a média populacional:
\text{tamanho da amostra } n = 50
\text{média amostral } \bar{x} = 72\\ \text{kg}é
\text{desvio padrão populacional (conhecido) } \sigma = 8\\ \text{kg}ã
Pedido: encontrar o intervalo de confiança de 95\% para a média populacional usando a tabela Z.

Passo 2

O que é um intervalo de confiança e qual fórmula usar?
Um intervalo de confiança para a média, quando o desvio padrão populacional \sigma é conhecido e a amostra é grande (ou a população é normal), é dado por
\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Aqui:
  • \bar{x} é a média amostral (dada: 72).
  • z_{\alpha/2} é o valor crítico da distribuição normal padrão correspondente à cauda \alpha/2. Para 95\% de confiança, \alpha=0,05 e \alpha/2=0,025.
  • \sigma é o desvio padrão populacional conhecido (dado: 8).
  • n é o tamanho da amostra (dado: 50).
    A quantidade \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} chama-se erro padrão da média (standard error).

Passo 3

Determinar z_{\alpha/2} para 95\% de confiança.
Para 95\%, temos \alpha/2=0,025. O valor crítico da normal padrão que deixa 0,025 na cauda superior é aproximadamente
z_{0,025}=1,96.
Esse valor vem da tabela Z (ou da simetria da normal padrão: P(Z\le 1,96)\approx0,975).

Passo 4

Calcular o erro padrão \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Primeiro compute \sqrt{n}:
\sqrt{50}\approx 7,071.
Agora o erro padrão:
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{8}{\sqrt{50}}\approx\frac{8}{7,071}\approx 1,13137.

Passo 5

Calcular a margem de erro E = z_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
E = 1,96 \times 1,13137 \approx 2,2175.
Arredondando a margem de erro com duas casas decimais fica aproximadamente 2,22.

Passo 6

Determinar os limites do intervalo de confiança somando e subtraindo E de \bar{x}:
\text{limite inferior } = \bar{x}-E \approx 72 - 2,2175 = 69,7825 \approx 69,78,
\text{limite superior } = \bar{x}+E \approx 72 + 2,2175 = 74,2175 \approx 74,22.
Interpretação rápida: com 95\% de confiança, a média populacional está entre 69,78 kg e 74,22 kg.

Resposta

IC_{95\%} = [69,78,\;74,22]

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