A distribuição dos diâmetros de parafusos produzidos por uma certa máquina. Uma amostra de seis parafusos retirada ao acaso da produção apresentou os seguintes diâmetros (em milímetros):
25,4 \quad 25,2 \quad 25,6 \quad 25,3 \quad 25,0 \quad 25,40
a) Obtenha o estimador pontual para a média populacional
b) Obtenha o estimador pontual para o desvio padrão populacional (Sugestão: Obter o estimador de máxima verossimilhaça para a variância populacioanal ( S^{2} ), depois calcular a raiz quadrada dele)
c) Construa os intervalos de 90 , 95 e 99,74 \% de confiança para o diâmetro médio da produção dessa máquina, assumindo que S=0,5

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras:
  • (a) Obter o estimador pontual para a média populacional usando a amostra dada.
  • (b) Obter o estimador pontual para o desvio padrão populacional, sendo sugerido usar o estimador de máxima verossimilhança (MLE) para a variância S^{2} e depois tirar a raiz quadrada.
  • (c) Construir os intervalos de confiança de 90\%, 95\% e 99,74\% para a média, assumindo que S=0,5.
Dados fornecidos (amostra de tamanho n=6; estou pegando os valores diretamente do enunciado):
25,4,\; 25,2,\; 25,6,\; 25,3,\; 25,0,\; 25,40.

Passo 2

O que é um estimador pontual e qual usar para a média?
Um estimador pontual é um número calculado a partir da amostra que serve como “chute” para o parâmetro populacional. Para a média populacional o estimador pontual natural é a média amostral \bar{x}, definida por
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde x_i são as observações e n é o tamanho da amostra. Aqui n=6. Vou calcular a soma das observações e a média amostral.
Soma das observações (peguei os valores da lista do enunciado):
\sum_{i=1}^{6} x_i = 25,4 + 25,2 + 25,6 + 25,3 + 25,0 + 25,40 = 151,9.
Dividindo por n=6:
\bar{x}=\frac{151,9}{6}=25,3166667.
Esse é o estimador pontual para a média.

Passo 3

Derivando o estimador de máxima verossimilhança para a variância populacional (visão didática):
Supondo que os x_i vêm de uma distribuição normal com média \mu e variância \sigma^2, a função de verossimilhança é (em linhas gerais)
L(\mu,\sigma^2)\propto (\sigma^2)^{-n/2}\exp\!\Big(-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2\Big).
Maximizando em relação a \mu obtém-se \hat{\mu}=\bar{x}. Substituindo esse \hat{\mu} e maximizando em relação a \sigma^2 (derivando o log-verossimilhança e igualando a zero) chega-se ao estimador de máxima verossimilhança para a variância:
\hat{\sigma}^2_{\text{MLE}} = S^{2} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}.
Observação importante (didática): esse estimador divide por n. O estimador “amostral clássico” não enviesado usa 1/(n-1). O MLE usa 1/n; é consistente, mas é ligeiramente enviesado para amostras pequenas.

Passo 4

Calcular S^{2} e o desvio padrão (raiz de S^{2}) numericamente, passo a passo. Primeiro calculo os desvios x_i-\bar{x} e seus quadrados (estou usando \bar{x}=25,3166667 calculado antes; todos os cálculos abaixo usam os dados do enunciado):
  1. 25,4 - 25,3166667 = 0,0833333;\quad quadrado: 0,00694444.
  2. 25,2 - 25,3166667 = -0,1166667;\quad quadrado: 0,01361111.
  3. 25,6 - 25,3166667 = 0,2833333;\quad quadrado: 0,08027778.
  4. 25,3 - 25,3166667 = -0,0166667;\quad quadrado: 0,00027778.
  5. 25,0 - 25,3166667 = -0,3166667;\quad quadrado: 0,10027778.
  6. 25,40 - 25,3166667 = 0,0833333;\quad quadrado: 0,00694444.
Somando os quadrados dos desvios (peguei cada valor acima):
\sum_{i=1}^6 (x_i-\bar{x})^{2} = 0,20833333.
Dividindo por n=6 (MLE):
S^{2}=\frac{0,20833333}{6}=0,03472222.
Agora o estimador pontual para o desvio padrão populacional (raiz de S^{2}) é
\hat{\sigma}=\sqrt{S^{2}}=\sqrt{0,03472222}=0,1863\\ \text{(aproximadamente)}.

Passo 5

Comentário didático rápido sobre os dois desvios possíveis:
  • O estimador \hat{\sigma}=\sqrt{S^{2}} que acabei de calcular é o MLE e divide por n.
  • O estimador não enviesado da variância amostral usa 1/(n-1); para essa amostra isso daria um valor um pouco maior. Em provas normalmente pedem explicitamente se querem o MLE ou o estimador não enviesado; aqui a sugestão foi usar MLE.

Passo 6

Preparação para os intervalos de confiança (didática):
Quando a variância populacional \sigma^{2} é conhecida (ou nos dizem usar um valor S conhecido), o intervalo de confiança para a média \mu com nível de confiança 1-\alpha é dado por
\bar{x}\pm z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{x} é a média amostral (estimador pontual da média),
  • \sigma é o desvio-padrão populacional conhecido (aqui o enunciado diz para assumir S=0,5; vou tratar esse S como \sigma=0,5),
  • n é o tamanho da amostra,
  • z_{1-\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão (por exemplo z_{0,95}=1,645 para 90\% de confiança, z_{0,975}=1,96 para 95\%, e para 99,74\% a cauda é pequena e o correspondente z\approx 3,00 — isso porque 99,74\% é quase o intervalo de \pm 3 desvios-padrão na normal).
Aqui n=6 e \sigma=0,5. Primeiro calculo o erro padrão:
\text{erro padrão} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{0,5}{\sqrt{6}}=0,204124.ã

Passo 7

Intervalo de confiança de 90\%: z_{0,95}=1,645.
Margem de erro:
1,645\times 0,204124 = 0,3358\\ (\text{aprox.}).
Intervalo:
\bar{x}\pm 0,3358 \Rightarrow 25,3167\pm 0,3358.
Isso dá limites aproximados:
\text{limite inferior}=25,3167-0,3358=24,9809,
\text{limite superior}=25,3167+0,3358=25,6525.

Passo 8

Intervalo de confiança de 95\%: z_{0,975}=1,96.
Margem de erro:
1,96\times 0,204124 = 0,4001\\ (\text{aprox.}).
Intervalo:
25,3167\pm 0,4001
Limites aproximados:
\text{limite inferior}=25,3167-0,4001=24,9166,
\text{limite superior}=25,3167+0,4001=25,7168.

Passo 9

Intervalo de confiança de 99,74\%: usar z\approx 3,00 porque 99,74\% corresponde aproximadamente a \pm 3 desvios-padrão na normal.
Margem de erro:
3{,}00\times 0,204124 = 0,6124\\ (\text{aprox.}).
Intervalo:
25,3167\pm 0,6124
Limites aproximados:
\text{limite inferior}=25,3167-0,6124=24,7043,
\text{limite superior}=25,3167+0,6124=25,9290.

Resposta

(a) \bar{x}=25,3167.\n
(b) \hat{\sigma}=\sqrt{S^{2}}=0,1863.\n
(c) Intervalos de confiança para a média (assumindo S=0,5, n=6):\n
90%: (24,9809,\;25,6525)\n
95%: (24,9166,\;25,7168)\n
99,74%: (24,7043,\;25,9290)

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