A distribuição dos diâmetros de parafusos produzidos por uma certa máquina. Uma amostra de seis parafusos retirada ao acaso da produção apresentou os seguintes diâmetros (em milímetros):
a) Obtenha o estimador pontual para a média populacional
b) Obtenha o estimador pontual para o desvio padrão populacional (Sugestão: Obter o estimador de máxima verossimilhaça para a variância populacioanal (
), depois calcular a raiz quadrada dele)
c) Construa os intervalos de 90 , 95 e
de confiança para o diâmetro médio da produção dessa máquina, assumindo que
b) Obtenha o estimador pontual para o desvio padrão populacional (Sugestão: Obter o estimador de máxima verossimilhaça para a variância populacioanal (
c) Construa os intervalos de 90 , 95 e
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras:
- (a) Obter o estimador pontual para a média populacional usando a amostra dada.
- (b) Obter o estimador pontual para o desvio padrão populacional, sendo sugerido usar o estimador de máxima verossimilhança (MLE) para a variância
e depois tirar a raiz quadrada. - (c) Construir os intervalos de confiança de
, e para a média, assumindo que .
Dados fornecidos (amostra de tamanho
; estou pegando os valores diretamente do enunciado):
Passo 2
O que é um estimador pontual e qual usar para a média?
Um estimador pontual é um número calculado a partir da amostra que serve como “chute” para o parâmetro populacional. Para a média populacional o estimador pontual natural é a média amostral , definida por
Um estimador pontual é um número calculado a partir da amostra que serve como “chute” para o parâmetro populacional. Para a média populacional o estimador pontual natural é a média amostral
onde
são as observações e
é o tamanho da amostra. Aqui
. Vou calcular a soma das observações e a média amostral.
Soma das observações (peguei os valores da lista do enunciado):
Dividindo por
:
Esse é o estimador pontual para a média.
Passo 3
Derivando o estimador de máxima verossimilhança para a variância populacional (visão didática):
Supondo que os vêm de uma distribuição normal com média
e variância
, a função de verossimilhança é (em linhas gerais)
Supondo que os
Maximizando em relação a
obtém-se
. Substituindo esse
e maximizando em relação a
(derivando o log-verossimilhança e igualando a zero) chega-se ao estimador de máxima verossimilhança para a variância:
Observação importante (didática): esse estimador divide por
. O estimador “amostral clássico” não enviesado usa
. O MLE usa
; é consistente, mas é ligeiramente enviesado para amostras pequenas.
Passo 4
Calcular
e o desvio padrão (raiz de
) numericamente, passo a passo. Primeiro calculo os desvios
e seus quadrados (estou usando
calculado antes; todos os cálculos abaixo usam os dados do enunciado):
-
;\quad quadrado: . -
;\quad quadrado: . -
;\quad quadrado: . -
;\quad quadrado: . -
;\quad quadrado: . -
;\quad quadrado: .
Somando os quadrados dos desvios (peguei cada valor acima):
Dividindo por
(MLE):
Agora o estimador pontual para o desvio padrão populacional (raiz de
) é
Passo 5
Comentário didático rápido sobre os dois desvios possíveis:
- O estimador
que acabei de calcular é o MLE e divide por . - O estimador não enviesado da variância amostral usa
; para essa amostra isso daria um valor um pouco maior. Em provas normalmente pedem explicitamente se querem o MLE ou o estimador não enviesado; aqui a sugestão foi usar MLE.
Passo 6
Preparação para os intervalos de confiança (didática):
Quando a variância populacional é conhecida (ou nos dizem usar um valor
conhecido), o intervalo de confiança para a média
com nível de confiança
é dado por
Quando a variância populacional
onde:
-
é a média amostral (estimador pontual da média), -
é o desvio-padrão populacional conhecido (aqui o enunciado diz para assumir ; vou tratar esse como ), -
é o tamanho da amostra, -
é o quantil da distribuição normal padrão (por exemplo para de confiança, para , e para a cauda é pequena e o correspondente — isso porque é quase o intervalo de desvios-padrão na normal).
Aqui
e
. Primeiro calculo o erro padrão:
Passo 7
Intervalo de confiança de
:
.
Margem de erro:
Margem de erro:
Intervalo:
Isso dá limites aproximados:
Passo 8
Intervalo de confiança de
:
.
Margem de erro:
Margem de erro:
Intervalo:
Limites aproximados:
Passo 9
Intervalo de confiança de
: usar
porque
corresponde aproximadamente a
desvios-padrão na normal.
Margem de erro:
Margem de erro:
Intervalo:
Limites aproximados:
Resposta
(a)
.\n
(b) .\n
(c) Intervalos de confiança para a média (assumindo ,
):\n
90%: \n
95%: \n
99,74%:
(b)
(c) Intervalos de confiança para a média (assumindo
90%:
95%:
99,74%: