Uma empresa quer saber se o consumo médio de energia em suas filiais está abaixo de 1200 kWh por mês. Em uma amostra de 25 filiais, a média foi 1180 kWh com desvio padrão de 50 kWh . Use nível de 5 \%.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o consumo médio de energia nas filiais está abaixo de 1200 kWh/mês, usando nível de significância de 5\%. Informações dadas:
n=25,\quad \bar{x}=1180,\quad s=50,\quad \alpha=0,05.
As hipóteses (explicitamente formuladas a partir do enunciado) são:
H_0:\mu=1200
H_1:\mu<1200

Passo 2

Escolha do procedimento de teste e fórmula da estatística: como a variância populacional é desconhecida (não foi dada) e a amostra é relativamente pequena ( n=25), usamos o teste t de Student para uma amostra. A estatística de teste é a distância padronizada entre a média amostral e o valor hipotetizado, dividida pelo erro padrão da média:
t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}.
Aqui:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=1180),
  • \mu_0 é o valor sob H_0 (aqui \mu_0=1200),
  • s é o desvio padrão amostral (aqui s=50),
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=25),
  • a estatística segue, sob H_0, a distribuição t com n-1 graus de liberdade.
Explicando rapidamente: usamos t em vez de z porque não sabemos o desvio padrão da população; o denominador s/\sqrt{n} é o erro padrão estimado da média.

Passo 3

Cálculo do erro padrão e da estatística t. Primeiro calculemos o erro padrão da média:
s/\sqrt{n}=\frac{50}{\sqrt{25}}=\frac{50}{5}=10.
Agora a estatística:
t=\frac{1180-1200}{10}=\frac{-20}{10}=-2.
Portanto a estatística observada é t_{\text{obs}}=-2.

Passo 4

Determinar a região de rejeição (valor crítico) para o teste unilateral à esquerda com nível \alpha=0,05 e n-1=24 graus de liberdade. Consultando a tabela da distribuição t para df=24:
t_{0,05;24}\approx -1,7109.
Isso significa que, sob H_0, valores de t menores que -1,7109 estão na região de rejeição ao nível 5\% para um teste unilateral à esquerda.
Observação curta sobre como ler a tabela: muitas tabelas dão t_{p,df} positivo para a cauda superior; para cauda inferior trocamos o sinal. Para um teste à esquerda com \alpha=0,05 usamos -t_{0{,}95;24}, que é aproximadamente -1{,}7109.

Passo 5

Comparação da estatística observada com o crítico e decisão. Temos:
t_{\text{obs}}=-2 < -1{,}7109.
Como t_{\text{obs}} está na região de rejeição, rejeitamos H_0 ao nível de 5\%.
Cálculo do p-valor (interpretação numérica): o p-valor é P(T_{24}\le t_{\text{obs}})=P(T_{24}\le -2). Pela tabela ou por aproximação, esse p-valor é aproximadamente
p\approx 0{,}028.
Esse p-valor é menor que \alpha=0{,}05, o que confirma a decisão de rejeitar H_0.
Explicando o que isso significa de forma simples: dado o modelo e os dados, a probabilidade de observar uma média tão baixa quanto 1180 (ou mais baixa) se a média verdadeira fosse 1200 é cerca de 2,8\%. Isso é pequeno, então aceitamos a evidência de que a média é menor que 1200.

Passo 6

Verificação das suposições e interpretação prática: para confiar no teste assumimos que as observações são independentes e que a distribuição do consumo nas filiais não é muito diferente de uma normal (com n=25 essa suposição é importante; se houver forte assimetria ou outliers, os resultados podem ser menos confiáveis). Na prática, com amostra razoavelmente simétrica e sem outliers extremos, o teste é apropriado.

Passo 7

Resumo final e encorajamento: calculamos a estatística t=-2, o p-valor é aproximadamente 0{,}028 e a comparação com o valor crítico mostrou rejeição de H_0 ao nível de 5\%. Isso dá evidência estatística de que o consumo médio é menor que 1200 kWh/mês. Força nos estudos — você já entendeu o passo a passo essencial para esse tipo de questão!

Resposta

Estatística de teste: t=-2.\n p-valor \approx 0{,}028.\nConclusão: rejeita-se H_0 ao nível de 5\%; há evidência de que a média de consumo é menor que 1200 kWh/mês.

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