Uma fábrica de peças verifica o tempo médio de produção. Em uma amostra de 60 peças, o tempo médio foi de 22 minutos, com desvio padrão populacional conhecido de 4 minutos. Construa um intervalo de confiança de
para o tempo médio de produção.
Passo 1
O enunciado pede para construir um intervalo de confiança de
para o tempo médio de produção. Dados fornecidos:
Pergunta: qual é o intervalo de confiança de
para o verdadeiro tempo médio de produção?
Passo 2
Qual fórmula usar? Quando a variância (ou desvio padrão populacional) é conhecida e queremos um intervalo para a média, usamos o intervalo baseado na distribuição normal padrão. A fórmula é
Explicando cada símbolo:
é a média amostral (aqui
).
é o desvio padrão populacional conhecido (aqui
).
é o tamanho da amostra (aqui
).
é o quantil da distribuição Normal padrão tal que a área nas duas caudas totaliza
; para um intervalo de confiança de
temos
e
.
Passo 3
Calcular o erro padrão da média (standard error):
Agora aproximamos
. Uma aproximação suficiente para prova é
logo
Interpretação:
é a “incerteza” típica da média amostral devido ao tamanho finito da amostra.
Passo 4
Determinar
. Para confiança de
, a cauda superior tem área
, e o quantil correspondente da Normal padrão é bem conhecido:
Breve lembrança do porquê: na tabela da Normal padrão,
, então entre
e
ficam aproximadamente
das observações.
Passo 5
Calcular a margem de erro
:
Isso significa que a média real provavelmente está a cerca de
minutos de distância da média amostral, com
de confiança.
Passo 6
Calcular os limites do intervalo:
Arredondando de forma prática (duas casas decimais), obtemos aproximadamente
e
minutos.
Passo 7
Interpretação final (curta e amiga): podemos dizer com
de confiança que o tempo médio de produção da fábrica está entre cerca de
e
minutos. Respira — ficou mais curto do que parecia!