Uma fábrica de peças verifica o tempo médio de produção. Em uma amostra de 60 peças, o tempo médio foi de 22 minutos, com desvio padrão populacional conhecido de 4 minutos. Construa um intervalo de confiança de 95 \% para o tempo médio de produção.

Passo 1

O enunciado pede para construir um intervalo de confiança de 95\% para o tempo médio de produção. Dados fornecidos:
n=60,\quad \bar{x}=22,\quad \sigma=4.
Pergunta: qual é o intervalo de confiança de 95\% para o verdadeiro tempo médio de produção?

Passo 2

Qual fórmula usar? Quando a variância (ou desvio padrão populacional) é conhecida e queremos um intervalo para a média, usamos o intervalo baseado na distribuição normal padrão. A fórmula é
\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Explicando cada símbolo:
\bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=22).
\sigma é o desvio padrão populacional conhecido (aqui \sigma=4).
n é o tamanho da amostra (aqui n=60).
z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição Normal padrão tal que a área nas duas caudas totaliza \alpha; para um intervalo de confiança de 95\% temos \alpha=0,05 e z_{\alpha/2}=z_{0,025}.

Passo 3

Calcular o erro padrão da média (standard error):
\text{SE}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{4}{\sqrt{60}}.
Agora aproximamos \sqrt{60}. Uma aproximação suficiente para prova é
\sqrt{60}\approx 7{,}7459667,
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\text{SE}\approx \frac{4}{7{,}7459667}\approx 0{,}5163978.
Interpretação: \text{SE} é a “incerteza” típica da média amostral devido ao tamanho finito da amostra.

Passo 4

Determinar z_{0,025}. Para confiança de 95\%, a cauda superior tem área 0{,}025, e o quantil correspondente da Normal padrão é bem conhecido:
z_{0,025}=1{,}96.
Breve lembrança do porquê: na tabela da Normal padrão, P(Z>1{,}96)\approx 0{,}025, então entre -1{,}96 e 1{,}96 ficam aproximadamente 95\% das observações.

Passo 5

Calcular a margem de erro E:
E=z_{0,025}\cdot\text{SE}=1{,}96\times 0{,}5163978\approx 1{,}0121396.
Isso significa que a média real provavelmente está a cerca de 1{,}012 minutos de distância da média amostral, com 95\% de confiança.

Passo 6

Calcular os limites do intervalo:
\text{limite inferior}=\bar{x}-E=22-1{,}0121396\approx 20{,}9878604,
\text{limite superior}=\bar{x}+E=22+1{,}0121396\approx 23{,}0121396.
Arredondando de forma prática (duas casas decimais), obtemos aproximadamente 20{,}99 e 23{,}01 minutos.

Passo 7

Interpretação final (curta e amiga): podemos dizer com 95\% de confiança que o tempo médio de produção da fábrica está entre cerca de 20{,}99 e 23{,}01 minutos. Respira — ficou mais curto do que parecia!

Resposta

\,(20{,}99\\ \text{minutos},\;23{,}01\\ \text{minutos})

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