Questão 01
Um pêndulo é afastado da vertical de um ângulo de
e solto em repouso. Desconsiderando todas as formas de atrito, responda: (a) Para que ângulo com a vertical a velocidade do pêndulo será
da sua velocidade máxima atingida? (b) Para que ângulo com a vertical a energia potencial gravitacional do pêndulo será igual a sua energia cinética?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados fornecidos:
- O pêndulo é afastado da vertical de
e solto em repouso. - Desprezam-se atritos (energia mecânica conservada).
- O pêndulo é afastado da vertical de
- O que o enunciado pede:
- (a) Para que ângulo com a vertical a velocidade do pêndulo será
da sua velocidade máxima? - (b) Para que ângulo com a vertical a energia potencial gravitacional do pêndulo será igual à sua energia cinética?
- (a) Para que ângulo com a vertical a velocidade do pêndulo será
Passo 2
Explicação física básica e fórmula para a energia potencial do pêndulo.
- Quando não há atrito, a energia mecânica total se conserva: a energia potencial gravitacional perdida transforma-se em energia cinética e vice-versa.
- Para um pêndulo simples de comprimento
, a altura do corpo em relação ao ponto mais baixo (vertical) quando o pêndulo faz um ângulo com a vertical é
- Explicando por que: na posição vertical o corpo está a uma distância
abaixo do ponto de suspensão; quando o fio forma ângulo , a componente vertical do comprimento é , então o corpo está a acima do ponto mais baixo, isto é . - A energia potencial relativa ao ponto mais baixo é
onde
é a massa do corpo e
a aceleração da gravidade.
- A energia cinética é
, onde é a velocidade.
Passo 3
Usar conservação de energia para relacionar
com
.
- Energia mecânica inicial (quando solto em
e ):
- Em uma posição genérica
tem-se
- Igualando as duas expressões e simplificando (cancelando
e quando possível):
- Isolando
:
- Observação: a velocidade máxima
ocorre na posição mais baixa . Assim
Passo 4
Resolver o item (a): velocidade igual a
da máxima.
- Condição pedida:
. Ao quadrado:
- Usando as fórmulas obtidas:
- Cancelando
dos dois lados:
- Então
- Substituindo
e :
- Portanto
- Interpretação: ao descer do
em direção à vertical, quando o ângulo com a vertical atingir aproximadamente a velocidade será da máxima.
Passo 5
Resolver o item (b): energia potencial igual à energia cinética.
- Queremos
. - Sabendo que
, a condição implica , ou seja . - Escrevendo em termos de cossenos:
- Cancelando
:
- Reorganizando:
- Substituindo
:
- Então
- Interpretação: quando o pêndulo passar por
com a vertical, metade da energia inicial estará em potencial e metade em cinética.