Questão 01

Um pêndulo é afastado da vertical de um ângulo de 60^{\circ} e solto em repouso. Desconsiderando todas as formas de atrito, responda: (a) Para que ângulo com a vertical a velocidade do pêndulo será 80 \% da sua velocidade máxima atingida? (b) Para que ângulo com a vertical a energia potencial gravitacional do pêndulo será igual a sua energia cinética?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • O pêndulo é afastado da vertical de \theta_0=60^\circ e solto em repouso.
    • Desprezam-se atritos (energia mecânica conservada).
  • O que o enunciado pede:
    • (a) Para que ângulo com a vertical a velocidade do pêndulo será 80\% da sua velocidade máxima?
    • (b) Para que ângulo com a vertical a energia potencial gravitacional do pêndulo será igual à sua energia cinética?

Passo 2

Explicação física básica e fórmula para a energia potencial do pêndulo.
  • Quando não há atrito, a energia mecânica total se conserva: a energia potencial gravitacional perdida transforma-se em energia cinética e vice-versa.
  • Para um pêndulo simples de comprimento L, a altura do corpo em relação ao ponto mais baixo (vertical) quando o pêndulo faz um ângulo \theta com a vertical é
h(\theta)=L\bigl(1-\cos\theta\bigr).
  • Explicando por que: na posição vertical o corpo está a uma distância L abaixo do ponto de suspensão; quando o fio forma ângulo \theta, a componente vertical do comprimento é L\cos\theta, então o corpo está a L-L\cos\theta acima do ponto mais baixo, isto é L(1-\cos\theta).
  • A energia potencial relativa ao ponto mais baixo é
U(\theta)=mg\,h(\theta)=mgL\bigl(1-\cos\theta\bigr),
onde m é a massa do corpo e g a aceleração da gravidade.
  • A energia cinética é \displaystyle K=\frac{1}{2}m v^2, onde v é a velocidade.

Passo 3

Usar conservação de energia para relacionar v com \theta.
  • Energia mecânica inicial (quando solto em \theta_0 e v=0):
E_{\text{tot}}=U(\theta_0)=mgL\bigl(1-\cos\theta_0\bigr).
  • Em uma posição genérica \theta tem-se
E_{\text{tot}}=U(\theta)+K(\theta)=mgL\bigl(1-\cos\theta\bigr)+\frac{1}{2}m v^2.
  • Igualando as duas expressões e simplificando (cancelando m e L quando possível):
mgL\bigl(1-\cos\theta_0\bigr)=mgL\bigl(1-\cos\theta\bigr)+\frac{1}{2}m v^2.
  • Isolando \displaystyle v^2:
\frac{1}{2}m v^2 = mgL\bigl(\cos\theta-\cos\theta_0\bigr) \quad\Rightarrow\quad v^2 = 2gL\bigl(\cos\theta-\cos\theta_0\bigr).
  • Observação: a velocidade máxima \,v_{\max}\, ocorre na posição mais baixa \theta=0. Assim
v_{\max}^2 = 2gL\bigl(1-\cos\theta_0\bigr).

Passo 4

Resolver o item (a): velocidade igual a 80\% da máxima.
  • Condição pedida: v=0{,}8\,v_{\max}. Ao quadrado:
v^2 = (0{,}8)^2 v_{\max}^2 = 0{,}64\,v_{\max}^2.
  • Usando as fórmulas obtidas:
2gL\bigl(\cos\theta-\cos\theta_0\bigr)=0{,}64\cdot 2gL\bigl(1-\cos\theta_0\bigr).
  • Cancelando 2gL dos dois lados:
\cos\theta-\cos\theta_0 = 0{,}64\bigl(1-\cos\theta_0\bigr).
  • Então
\cos\theta = \cos\theta_0 + 0{,}64\bigl(1-\cos\theta_0\bigr) = 0{,}64 + 0{,}36\cos\theta_0.
  • Substituindo \theta_0=60^\circ e \cos 60^\circ=\tfrac{1}{2}=0{,}5:
\cos\theta = 0{,}64 + 0{,}36\cdot 0{,}5 = 0{,}64 + 0{,}18 = 0{,}82.
  • Portanto
\theta = \operatorname{arccos}(0{,}82) \approx 34{,}9^\circ.
  • Interpretação: ao descer do \,60^\circ em direção à vertical, quando o ângulo com a vertical atingir aproximadamente 34{,}9^\circ a velocidade será 80\% da máxima.

Passo 5

Resolver o item (b): energia potencial igual à energia cinética.
  • Queremos U(\theta)=K(\theta).
  • Sabendo que E_{\text{tot}}=U(\theta)+K(\theta)=U(\theta_0), a condição U=K implica 2U(\theta)=U(\theta_0), ou seja U(\theta)=\tfrac{1}{2}U(\theta_0).
  • Escrevendo em termos de cossenos:
mgL\bigl(1-\cos\theta\bigr)=\tfrac{1}{2}\,mgL\bigl(1-\cos\theta_0\bigr).
  • Cancelando mgL:
1-\cos\theta=\tfrac{1}{2}\bigl(1-\cos\theta_0\bigr).
  • Reorganizando:
\cos\theta = 1-\tfrac{1}{2}\bigl(1-\cos\theta_0\bigr)=\tfrac{1+\cos\theta_0}{2}.
  • Substituindo \cos\theta_0=0{,}5:
\cos\theta = \tfrac{1+0{,}5}{2} = \tfrac{1{,}5}{2} = 0{,}75.
  • Então
\theta = \operatorname{arccos}(0{,}75) \approx 41{,}4^\circ.
  • Interpretação: quando o pêndulo passar por \approx 41{,}4^\circ com a vertical, metade da energia inicial estará em potencial e metade em cinética.

Resposta

\theta\approx 34{,}9^\circ
\theta\approx 41{,}4^\circ

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