O potencial elétrico no ponto ( x, y, z ) é dado por: V(x, y, z)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, onde V é dado em volts e x, y e z em cm. Determine a taxa de variação instantânea de V em relação à distância em (1,2,3) na direção do:
eixo dos z.
Passo 1
O enunciado dá a função potencial
V(x,y,z)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
onde V está em volts e x,y,z em centímetros. Pede-se a taxa de variação instantânea de V em relação à distância no ponto (1,2,3) na direção do eixo dos z. \n
Informações relevantes: \n
A função V(x,y,z) está definida acima. \n
O ponto onde avaliamos é (1,2,3) (unidades: cm). \n
A direção pedida é a do eixo dos z, isto é, a direção do vetor (0,0,1). \n
O que precisamos encontrar: a derivada direcional de V em (1,2,3) na direção do eixo z (taxa de variação por unidade de distância nessa direção).
Passo 2
Conceito necessário (explicado devagar): a derivada direcional de uma função escalar V(x,y,z) na direção de um vetor unitário \mathbf{u} mede a variação de V por unidade de distância quando nos deslocamos do ponto na direção \mathbf{u}. A fórmula prática é
onde \nabla V é o gradiente de V e \cdot é o produto escalar. \n
Explicando termos: \n
\nabla V(\mathbf{r}) é o vetor das derivadas parciais: \nabla V=(\partial V/\partial x,\\ \partial V/\partial y,\\ \partial V/\partial z). Ele aponta na direção de maior crescimento de V e seu módulo é a taxa de crescimento nessa direção. \n
\mathbf{u} deve ser um vetor unitário (comprimento 1). No nosso caso, a direção do eixo z corresponde ao vetor unitário \mathbf{u}=(0,0,1). \n
Portanto, para a direção do eixo z basta calcular \partial V/\partial z no ponto, pois
Vamos calcular as derivadas parciais de V. É útil escrever r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}, então
V(x,y,z)=x\,r^{-2}.
Usamos a regra do produto e a regra da cadeia. Primeiro, mostro como obter \partial V/\partial z passo a passo (as outras componentes são análogas): \n
Começamos com
pois x é tratado como constante quando derivamos em relação a z. \n
Agora, aplicamos a regra da cadeia em r^{-2}: \frac{d}{dz}r^{-2}=-2r^{-3}\cdot\frac{dr}{dz}. Mas é mais direto usar r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}, então
Essa é a derivada direcional na direção positiva do eixo z. A unidade é volts por centímetro (porque V está em volts e as coordenadas estão em centímetros). Podemos também dar uma aproximação decimal para intuição:
-\frac{3}{98}\approx -0,030612\\ \text{V/cm}.
Você conseguiu! É uma variação negativa, ou seja, ao subir um pequeno \Delta z>0 em torno de (1,2,3), o potencial diminui nessa razão por centímetro.