O potencial elétrico no ponto ( x, y, z ) é dado por: V(x, y, z)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, onde V é dado em volts e x, y e z em cm. Determine a taxa de variação instantânea de V em relação à distância em (1,2,3) na direção do:
eixo dos z.

Passo 1

O enunciado dá a função potencial
V(x,y,z)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
onde V está em volts e x,y,z em centímetros. Pede-se a taxa de variação instantânea de V em relação à distância no ponto (1,2,3) na direção do eixo dos z. \n
Informações relevantes: \n
  • A função V(x,y,z) está definida acima. \n
  • O ponto onde avaliamos é (1,2,3) (unidades: cm). \n
  • A direção pedida é a do eixo dos z, isto é, a direção do vetor (0,0,1). \n
    O que precisamos encontrar: a derivada direcional de V em (1,2,3) na direção do eixo z (taxa de variação por unidade de distância nessa direção).

Passo 2

Conceito necessário (explicado devagar): a derivada direcional de uma função escalar V(x,y,z) na direção de um vetor unitário \mathbf{u} mede a variação de V por unidade de distância quando nos deslocamos do ponto na direção \mathbf{u}. A fórmula prática é
D_{\mathbf{u}}V(\mathbf{r})=\nabla V(\mathbf{r})\cdot\mathbf{u},
onde \nabla V é o gradiente de V e \cdot é o produto escalar. \n
Explicando termos: \n
  • \nabla V(\mathbf{r}) é o vetor das derivadas parciais: \nabla V=(\partial V/\partial x,\\ \partial V/\partial y,\\ \partial V/\partial z). Ele aponta na direção de maior crescimento de V e seu módulo é a taxa de crescimento nessa direção. \n
  • \mathbf{u} deve ser um vetor unitário (comprimento 1). No nosso caso, a direção do eixo z corresponde ao vetor unitário \mathbf{u}=(0,0,1). \n
    Portanto, para a direção do eixo z basta calcular \partial V/\partial z no ponto, pois
D_{(0,0,1)}V(\mathbf{r})=\nabla V(\mathbf{r})\cdot(0,0,1)=\frac{\partial V}{\partial z}(\mathbf{r}).

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de V. É útil escrever r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}, então
V(x,y,z)=x\,r^{-2}.
Usamos a regra do produto e a regra da cadeia. Primeiro, mostro como obter \partial V/\partial z passo a passo (as outras componentes são análogas): \n
Começamos com
\frac{\partial}{\partial z}\big(x\,r^{-2}\big)=x\cdot\frac{\partial}{\partial z}\big(r^{-2}\big),
pois x é tratado como constante quando derivamos em relação a z. \n
Agora, aplicamos a regra da cadeia em r^{-2}: \frac{d}{dz}r^{-2}=-2r^{-3}\cdot\frac{dr}{dz}. Mas é mais direto usar r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}, então
\frac{\partial}{\partial z}\big(r^{-2}\big) = -1\cdot r^{-4}\cdot\frac{\partial}{\partial z}(r^{2}) = -r^{-4}\cdot 2z.
Juntando,
\frac{\partial V}{\partial z} = x\cdot\big(-2z\,r^{-4}\big)= -\frac{2xz}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}.

Passo 4

Para ficarmos completos, mostro rapidamente as outras duas componentes (apesar de não serem necessárias para a direção z):
\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{1}{r^{2}} - \frac{2x^{2}}{r^{4}}=\frac{r^{2}-2x^{2}}{r^{4}},
\frac{\partial V}{\partial y} = -\frac{2xy}{r^{4}}.
Mas, repetindo, para a direção do eixo z só precisamos de \partial V/\partial z já obtida.

Passo 5

Agora avaliamos \partial V/\partial z no ponto (1,2,3). Primeiro calcule r^{2} nesse ponto:
r^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}=1+4+9=14.
Logo r^{4}=(r^{2})^{2}=14^{2}=196. Substituindo em
\frac{\partial V}{\partial z} = -\frac{2xz}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}},
temos
\frac{\partial V}{\partial z}\Big|_{(1,2,3)} = -\frac{2\cdot 1\cdot 3}{196} = -\frac{6}{196}.

Passo 6

Simplificamos a fração:
-\frac{6}{196} = -\frac{3}{98}.
Essa é a derivada direcional na direção positiva do eixo z. A unidade é volts por centímetro (porque V está em volts e as coordenadas estão em centímetros). Podemos também dar uma aproximação decimal para intuição:
-\frac{3}{98}\approx -0,030612\\ \text{V/cm}.
Você conseguiu! É uma variação negativa, ou seja, ao subir um pequeno \Delta z>0 em torno de (1,2,3), o potencial diminui nessa razão por centímetro.

Resposta

-\dfrac{3}{98}\\ \text{V/cm}

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