Determine a equação do plano tangente ao gráfico de:
no ponto (
).
Passo 1
O enunciado dá a superfície definida por
com
e pede a equação do plano tangente a esse gráfico no ponto
.
Informações relevantes:
Passo 2
Lembrete (fórmula do plano tangente): para uma função
diferenciável, o plano tangente em
é dado pela linearização
Aqui
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
. Nosso objetivo prático: calcular
e
e substituir na fórmula acima.
Passo 3
Estratégia para calcular
e
: é conveniente usar a notação
e ver
com
. Assim podemos usar a regra da cadeia: primeiro derivamos em relação a
e depois multiplicamos por
ou
. Vou explicar cada peça com calma.
Passo 4
Calcular
. Usando a regra do produto:
Explicação: a derivada de
é
; a derivada de
é
. Ao somar os dois termos obtemos
.
Passo 5
Agora aplicamos a regra da cadeia para obter
:
Sabemos que
. Logo, usando o resultado do passo anterior,
Voltando a
(pois
):
Comentário curto: dá para obter o mesmo facilmente com a regra do produto aplicada diretamente à forma original; os dois caminhos dão o mesmo resultado.
Passo 6
De modo análogo, para
temos
, então
ou escrevendo em termos de
,
Passo 7
Avaliar as derivadas parciais no ponto
. Primeiro
. Então
Também conferimos
, que bate com a coordenada
do ponto dado.
Passo 8
Substituindo na fórmula do plano tangente:
Com os valores encontrados:
Portanto a equação do plano tangente é simplesmente
. É um plano horizontal que toca a superfície no ponto
.