Determine a equação do plano tangente ao gráfico de: z=\left(x^{2}+y^{2}+1\right) e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} no ponto ( 0,0,1 ).

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida por z=f(x,y) com
f(x,y) = \bigl(x^{2}+y^{2}+1\bigr) e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}
e pede a equação do plano tangente a esse gráfico no ponto (0,0,1).
Informações relevantes:
\text{o ponto de tangência é }(x_{0},y_{0},z_{0})=(0,0,1).êé
\text{a função que descreve a superfície é }f(x,y)=\bigl(x^{2}+y^{2}+1\bigr)e^{-(x^{2}+y^{2})}.çãíé

Passo 2

Lembrete (fórmula do plano tangente): para uma função f(x,y) diferenciável, o plano tangente em (x_{0},y_{0},f(x_{0},y_{0})) é dado pela linearização
L(x,y)=f(x_{0},y_{0})+f_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+f_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0}).
Aqui f_{x} e f_{y} são as derivadas parciais de f em relação a x e y. Nosso objetivo prático: calcular f_{x}(0,0) e f_{y}(0,0) e substituir na fórmula acima.

Passo 3

Estratégia para calcular f_{x} e f_{y}: é conveniente usar a notação u=x^{2}+y^{2} e ver
f(x,y)=(u+1)e^{-u},
com u=u(x,y)=x^{2}+y^{2}. Assim podemos usar a regra da cadeia: primeiro derivamos em relação a u e depois multiplicamos por \partial u/\partial x ou \partial u/\partial y. Vou explicar cada peça com calma.

Passo 4

Calcular \dfrac{d}{du}\bigl((u+1)e^{-u}\bigr). Usando a regra do produto:
\frac{d}{du}\bigl((u+1)e^{-u}\bigr)=1\cdot e^{-u}+(u+1)\cdot(-e^{-u})=e^{-u}-(u+1)e^{-u}= -u\,e^{-u}.
Explicação: a derivada de u+1 é 1; a derivada de e^{-u} é -e^{-u}. Ao somar os dois termos obtemos -u e^{-u}.

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia para obter f_{x}:
f_{x}(x,y)=\frac{d}{du}\bigl((u+1)e^{-u}\bigr)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Sabemos que \dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2})=2x. Logo, usando o resultado do passo anterior,
f_{x}(x,y)=\bigl(-u e^{-u}\bigr)\cdot 2x = -2x\,u\,e^{-u}.
Voltando a x,y (pois u=x^{2}+y^{2}):
f_{x}(x,y)=-2x\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)e^{-(x^{2}+y^{2})}.
Comentário curto: dá para obter o mesmo facilmente com a regra do produto aplicada diretamente à forma original; os dois caminhos dão o mesmo resultado.

Passo 6

De modo análogo, para f_{y} temos \dfrac{\partial u}{\partial y}=2y, então
f_{y}(x,y)=\bigl(-u e^{-u}\bigr)\cdot 2y = -2y\,u\,e^{-u}
ou escrevendo em termos de x,y,
f_{y}(x,y)=-2y\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)e^{-(x^{2}+y^{2})}.

Passo 7

Avaliar as derivadas parciais no ponto (0,0). Primeiro u(0,0)=0^{2}+0^{2}=0. Então
f_{x}(0,0)=-2\cdot 0\cdot 0\cdot e^{0}=0,
f_{y}(0,0)=-2\cdot 0\cdot 0\cdot e^{0}=0.
Também conferimos f(0,0)=(0+1)e^{0}=1, que bate com a coordenada z_{0}=1 do ponto dado.

Passo 8

Substituindo na fórmula do plano tangente:
L(x,y)=f(0,0)+f_{x}(0,0)(x-0)+f_{y}(0,0)(y-0).
Com os valores encontrados:
L(x,y)=1+0\cdot x+0\cdot y = 1.
Portanto a equação do plano tangente é simplesmente z=1. É um plano horizontal que toca a superfície no ponto (0,0,1).

Resposta

z=1

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