Suponha que os números naturais
e
satisfaçam à equação
. Prove que pelo menos um deles é divisível por 3 .
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para provar que, se temos três números naturais $ m, n $ e $ p $ que satisfazem a equação $ m^{2} + n^{2} = p^{2} $, então pelo menos um desses números é divisível por 3. Para resolver isso, vamos usar conceitos de divisibilidade e restos da divisão por 3.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como os números se comportam quando divididos por 3. Quando dividimos qualquer número por 3, o resto da divisão pode ser 0, 1 ou 2. Vamos analisar os possíveis resíduos ao elevarmos esses números ao quadrado:
- Se um número $ a $ deixa resto 0 quando dividido por 3, então $ a \equiv 0 \mod 3 $. Elevando ao quadrado: $ a^{2} \equiv 0^{2} = 0 \mod 3 $.
- Se $ a \equiv 1 \mod 3 $, então $ a^{2} \equiv 1^{2} = 1 \mod 3 $.
- Se $ a \equiv 2 \mod 3 $, então $ a^{2} \equiv 2^{2} = 4 \equiv 1 \mod 3 $.
Portanto, ao quadrado, um número deixa resto 0 ou 1 quando dividido por 3.
Passo 3
Agora, vamos analisar a equação $ m^{2} + n^{2} = p^{2} $ módulo 3. Isso significa que vamos considerar os restos de $ m^{2} $, $ n^{2} $ e $ p^{2} $ quando divididos por 3.
Como vimos, cada um desses termos pode ser 0 ou 1 módulo 3. Vamos listar todas as combinações possíveis para $ m^{2} + n^{2} \mod 3 $:
-
$ m^{2} \equiv 0 \mod 3 $ e $ n^{2} \equiv 0 \mod 3 $:
- $ m^{2} + n^{2} \equiv 0 + 0 = 0 \mod 3 $
- Isso implica que $ p^{2} \equiv 0 \mod 3 $, ou seja, $ p $ também é divisível por 3.
-
$ m^{2} \equiv 0 \mod 3 $ e $ n^{2} \equiv 1 \mod 3 $:
- $ m^{2} + n^{2} \equiv 0 + 1 = 1 \mod 3 $
- Então, $ p^{2} \equiv 1 \mod 3 $, o que significa que $ p $ não é divisível por 3.
-
$ m^{2} \equiv 1 \mod 3 $ e $ n^{2} \equiv 0 \mod 3 $:
- Mesma situação do caso anterior: $ p^{2} \equiv 1 \mod 3 $.
-
$ m^{2} \equiv 1 \mod 3 $ e $ n^{2} \equiv 1 \mod 3 $:
- $ m^{2} + n^{2} \equiv 1 + 1 = 2 \mod 3 $
- Contudo, sabemos que $ p^{2} $ só pode ser 0 ou 1 módulo 3. Portanto, essa combinação não é possível.
Passo 4
Analisando os casos acima, vemos que a única situação válida onde a equação $ m^{2} + n^{2} = p^{2} $ se mantém é quando pelo menos um dos números $ m $ ou $ n $ é divisível por 3, o que força $ p $ a também ser divisível por 3. Nos demais casos, a equação não se sustenta.
Resposta
Portanto, pelo menos um dos números $ m, n $ ou $ p $ é divisível por 3.