Suponha
. Mostre que
.
24. Suponha que a dependência de
em relação a
e
possa ser expressa como
, onde
e suas derivadas primeira e segunda são contínuas.
Demonstre que:
.
24. Suponha que a dependência de
Demonstre que:
Passo 1
O enunciado dá duas versões da mesma situação e pede a mesma verificação em cada uma:
- Versão específica:
. - Versão geral:
, com e suas derivadas primeira e segunda contínuas.
O que se pede mostrar é que
Listei as informações relevantes: a dependência de
ocorre apenas via a combinação
; em cada caso conhecemos a forma de
(no primeiro caso
), e no caso geral sabemos que
existem e são contínuas. A resolução começa agora.
Passo 2
Ferramenta que vamos usar: regra da cadeia para derivadas parciais. Vou explicar isso com calma.
Se definirmos a variável auxiliar
então
. A regra da cadeia diz que, para derivadas parciais,
Aqui
é a derivada comum de
em relação a seu argumento
. As quantidades
e
são fáceis de calcular porque
: temos
e
. Portanto, a regra da cadeia reduz a derivação parcial de
a multiplicar
por
ou por
. Isso é tudo que precisamos para prosseguir.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia ao caso específico
. Defina
e
. Primeiro calcule as derivadas parciais de primeira ordem:
- Derivada parcial em relação a
:
Como
, obtemos
- Derivada parcial em relação a
:
Portanto,
Passo 4
Agora calculamos as derivadas mistas para o caso específico e verificamos que são iguais.
- Primeiro calcule
. Usamos que :
Para o nosso
específico,
. Logo
- Agora calcule
. Usamos :
Substituindo
obtemos exatamente
Concluímos que, para o caso específico,
Passo 5
Agora a demonstração no caso geral
com
contínuas — o mesmo cálculo, mas escrito de forma geral.
Defina
. Pelas contas da regra da cadeia:
Agora as derivadas mistas:
Portanto, em termos gerais,
Passo 6
Comentário teórico final (curto e prático). O que fizemos foi aplicar a regra da cadeia duas vezes; a igualdade das derivadas mistas decorre do fato de que as duas ordens de diferenciação envolvendo a função
resultam na mesma combinação de
multiplicada por
. A hipótese de continuidade de
e
garante que todas essas derivadas existem e são contínuas, o que tecla com o teorema de Clairaut (ou teorema de igualdade das derivadas parciais mistas) — assim não há surpresa matemática: as derivadas mistas são iguais.