A potência instantânea para o capacitor em um circuito R L C em série alimentado por uma fonte de corrente alternada (CA) é P_{C}=\mathrm{iV}_{C}, onde i=i_{0} \operatorname{sen}(\omega t+\varphi) e V_{C}=X_{C} i_{0} \operatorname{sen}(\omega t-\varphi-\pi / 2). Mostre que a potência média para o capacitor é igual zero.

Passo 1

O enunciado dá a potência instantânea do capacitor como P_{C}=iV_{C}, com
i = i_{0}\operatorname{sen}(\omega t+\varphi)
e
V_{C} = X_{C}\,i_{0}\operatorname{sen}(\omega t-\varphi-\tfrac{\pi}{2}).
A pergunta é: mostrar que a potência média do capacitor, isto é a média temporal de P_{C} sobre um período da fonte, é igual a zero.

Passo 2

Definamos com clareza o que é potência média em regime senoidal periódico. A potência instantânea é
p(t)=i(t)\,v(t).
A potência média sobre um período T é
\overline{P}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}p(t)\,dt.
Para uma senóide de frequência \omega temos T=\dfrac{2\pi}{\omega}. A nossa missão é calcular \overline{P} para p(t)=i(t)\,V_{C}(t) usando as expressões fornecidas.

Passo 3

Uma forma elegante e geral de calcular potência média em sinais senoidais é usar as representações de fasores (ou amplitudes complexas). Vou explicar rapidinho essa ideia (é um atalho comum na prova):
  • Escrevemos as formas complexas (fasores) de corrente e tensão como amplitudes complexas multiplicando e^{j\omega t}. Para a corrente de pico i_{0} com fase \varphi o fasor é
\hat{I} = i_{0}e^{j\varphi}.
  • A tensão complexa (fasor) \hat{V} relacionada a \hat{I} por um impedância Z é \hat{V}=Z\hat{I}.
  • Se i(t)=\Re\{\hat{I}e^{j\omega t}\} e v(t)=\Re\{\hat{V}e^{j\omega t}\}, então a potência média sobre um período é dada pela fórmula padrão
\overline{P}=\frac{1}{2}\Re\{\hat{V}\hat{I}^{*}\},
onde \hat{I}^{*} é o conjugado complexo de \hat{I}. Vou justificar rapidamente essa fórmula: escrever os reais, multiplicar e integrar sobre um período cancela todos os termos oscilantes e sobra metade do produto complexo cujo real é a potência média. (Essa justificativa pode ser feita expandindo \Re\{\hat{I}e^{j\omega t}\}\Re\{\hat{V}e^{j\omega t}\} e integrando.)

Passo 4

Para o capacitor a impedância é puramente imaginária (reatância capacitiva). Em notação usual:
Z_{C} = -jX_{C},
onde X_{C}=\dfrac{1}{\omega C}>0 é a magnitude da reatância capacitiva e o sinal -j indica defasagem de -\tfrac{\pi}{2} entre tensão e corrente (a tensão atrasa a corrente em \tfrac{\pi}{2}). Assim o fasor da tensão é
\hat{V} = Z_{C}\hat{I} = (-jX_{C})\hat{I}.

Passo 5

Aplicando a fórmula da potência média em fasores:
\overline{P}=\frac{1}{2}\Re\{\hat{V}\hat{I}^{*}\} =\frac{1}{2}\Re\{(Z_{C}\hat{I})\hat{I}^{*}\} =\frac{1}{2}\Re\{Z_{C}\,|\hat{I}|^{2}\},
onde |\hat{I}|^{2}=\hat{I}\hat{I}^{*}=i_{0}^{2} é real e positivo. Como Z_{C}=-jX_{C} é puramente imaginário, a sua parte real é zero:
\Re\{Z_{C}\}=0.
Portanto
\overline{P}=\frac{1}{2}\,|\hat{I}|^{2}\,\Re\{Z_{C}\}=0.
Isto significa que, independentemente da fase \varphi e do valor de i_{0}, a potência média absorvida pelo capacitor é zero: ele apenas troca energia reativamente com o circuito, sem consumo médio.

Passo 6

(Faça essa verificação se preferir ver no tempo: produto de senos)
Se preferir ver pela conta direta com senos, use a identidade
\operatorname{sen} A\,\operatorname{sen} B=\tfrac{1}{2}\big(\cos(A-B)-\cos(A+B)\big).
Com A=\omega t+\varphi e B=\omega t+\varphi-\tfrac{\pi}{2} (a tensão de capacitor está defasada de -\tfrac{\pi}{2} em relação à corrente), o termo \cos(A-B) vira \cos(\tfrac{\pi}{2})=0 (constante nula) e o termo \cos(A+B) é uma oscilação com frequência 2\omega cuja média sobre um período é zero. Assim a média do produto é zero. (Essa forma no tempo exige atenção ao sinal da fase; a conclusão física é a mesma.)

Passo 7

Resumo da ideia física e motivação (rápido incentivo): o capacitor armazena e devolve energia ao longo do ciclo (carrega e descarrega), por isso não há consumo líquido de energia no longo prazo — a potência média é nula. Isso vale para qualquer elemento puramente reativo (capacitor ideal ou indutor ideal).

Resposta

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