Suponha que um orbital molecular não normalizado tenha a forma psi1=0,727 A+0,144 B, onde A e B são funções de onda normalizadas dos átomos A e B , respectivamente. Use nos itens abaixo que S=0,117.
a) Normalize o orbital molecular psi1.
b) Determine um orbital molecular normalizado psi2 que seja uma combinação linear dos orbitais A e B e que seja ortogonal a psi1.

Passo 1

Beleza, vamos lá. A questão tá em Química Quântica, mais precisamente em Teoria de Orbitais Moleculares. A gente tem um orbital não normalizado
psi1 = 0,727,A + 0,144,B
onde e são funções já normalizadas dos átomos, e o overlap entre elas é .
O que precisamos fazer:
  1. Normalizar .
  2. Encontrar outro orbital que seja (i) normalizado e (ii) ortogonal a .

Passo 2

Normalização de lang<= psi1|psi1rang<= = integral psi1^2 ,dtau = (0.727)^2 + (0.144)^2 + 2,(0.727)(0.144),S : lembrando que
(0.727)^2 = 0.528529, (0.144)^2 = 0.020736, 2cdot0.727cdot0.144 cdot 0.117 approx 0.024497
Vamos calcular cada termo:
lang<= psi1|psi1rang<= approx 0.528529 + 0.020736 + 0.024497 = 0.573762
Somando tudo:
N^2,lang<= psi1|psi1rang<= = 1 ;Longrightarrow; N = 1raiz0.573762approx 1.320
Pra normalizar, precisamos de um fator psi1^rm norm = 1.320,(0.727,A + 0.144,B) approx 0.960,A + 0.190,B tal que
Então

Passo 3

Agora lang<= psi1|psi2rang<= = (,0.960,x + 0.190,y,) + S,(0.960,y + 0.190,x) = 0 tem que ser ortogonal a x,(0.960 + 0.190,S) + y,(0.190 + 0.960,S) = 0 , ou seja
0.960 + 0.190cdot0.117 approx 0.982, 0.190 + 0.960cdot0.117 approx 0.302
Agrupando:
0.982,x + 0.302,y = 0 ;Longrightarrow; y = -0.9820.302,x approx -3.247,x
Substituindo psi2^rm bruta = A - 3.247,B :
Logo
Podemos escolher , então , e ficamos com o orbital ortogonal mas ainda não normalizado:

Passo 4

Falta normalizar lang<= psi2^rm bruta|psi2^rm brutarang<= =1^2 + (-3.247)^2 + 2cdot1cdot(-3.247),S approx 1 + 10.545 - 0.760 = 10.785 . Calculamos
M = 1raiz10.785approx 0.304
O fator de normalização é
psi2 = 0.304,(A - 3.247,B) approx 0.304,A - 0.987,B
Então o orbital normalizado e ortogonal é

Resposta

a)
b)

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