Suponha que \overleftrightarrow{A} é um tensor antisimétrico do tipo \binom{2}{0}, \overleftrightarrow{B} um tensor simétrico do tipo \binom{0}{2}, \overleftrightarrow{C} um tensor arbitrário do tipo \binom{0}{2} e \overleftrightarrow{D} um tensor arbitrário do tipo \binom{2}{0}. Prove que
A^{\alpha \beta} B_{\alpha \beta}=0

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
  • Dado \overleftrightarrow{A} um tensor antissimétrico do tipo \binom{2}{0}. Isso significa que, em componentes, vale
A^{\alpha\beta} = -\,A^{\beta\alpha}.
  • Dado \overleftrightarrow{B} um tensor simétrico do tipo \binom{0}{2}. Em componentes:
B_{\alpha\beta} = B_{\beta\alpha}.
  • Pergunta: provar que
A^{\alpha\beta} B_{\alpha\beta} = 0.
Passo 1 concluído: listei claramente o que o enunciado fornece e o que precisa ser demonstrado.

Passo 2

Explicação das convenções que vou usar (coisa importante para entender cada manipulação):
  • Convenção de soma de Einstein: um índice repetido uma vez como subscrito e outra vez como sobrescrito indica soma sobre todos os valores desse índice. Assim A^{\alpha\beta}B_{\alpha\beta} significa somar sobre \alpha e \beta todos os produtos A^{\alpha\beta}B_{\alpha\beta}.
  • Índices repetidos são índices “dummy” (índices de soma) e podem ser renomeados sem alterar o valor da expressão. Por exemplo, a soma \sum_{i,j} X_{ij} é a mesma que \sum_{j,i} X_{ji}; na notação indexada escreve-se isso como trocar os nomes dos índices.
  • Observação útil: para um tensor antissimétrico, as componentes diagonal são nulas porque, para cada índice fixo,
A^{\alpha\alpha} = -\,A^{\alpha\alpha} \quad\Rightarrow\quad A^{\alpha\alpha}=0.
Vou usar esses fatos para provar a igualdade pedida.

Passo 3

Defino a quantidade escalar que queremos avaliar:
S := A^{\alpha\beta} B_{\alpha\beta}.
Aqui S é um escalar (não depende do nome dos índices), porque todos os índices são contraídos. O objetivo é mostrar S=0.

Passo 4

Faço a manipulação padrão de trocar os índices dummy. Trocar \alpha e \beta na soma não altera S. Assim posso escrever:
S = A^{\beta\alpha} B_{\beta\alpha}.
Agora uso as propriedades de simetria/antissimetria dos tensores dadas:
  • Como A^{\beta\alpha} = -\,A^{\alpha\beta},
  • e B_{\beta\alpha} = B_{\alpha\beta},
substituindo na expressão trocada obtenho
S = A^{\beta\alpha} B_{\beta\alpha} = \bigl(-\,A^{\alpha\beta}\bigr)\bigl(B_{\alpha\beta}\bigr) = -\,A^{\alpha\beta} B_{\alpha\beta}.
Portanto
S = -S.

Passo 5

Da igualdade S = -S segue imediatamente que
2S = 0 \quad\Rightarrow\quad S = 0.
Isso prova que A^{\alpha\beta} B_{\alpha\beta}=0.

Passo 6

(Comentário extra didático e intuitivo, para fixar:) uma forma alternativa e talvez mais concreta de ver a mesma coisa é expandir a soma componente a componente. Para cada par distinto de índices (i,j) com i\neq j aparecem na soma os termos A^{ij}B_{ij} e A^{ji}B_{ji}. Mas A^{ji}=-A^{ij} e B_{ji}=B_{ij}, então esses dois termos somam zero. Para os termos diagonais i=j a componente antissimétrica satisfaz A^{ii}=0. Assim tudo cancela e a soma total é zero — mesma conclusão, vista de outro ângulo.

Resposta

0

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