Suponha que
é um tensor antisimétrico do tipo
um tensor simétrico do tipo
um tensor arbitrário do tipo
e
um tensor arbitrário do tipo
. Prove que
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
- Dado
um tensor antissimétrico do tipo . Isso significa que, em componentes, vale
- Dado
um tensor simétrico do tipo . Em componentes:
- Pergunta: provar que
Passo 1 concluído: listei claramente o que o enunciado fornece e o que precisa ser demonstrado.
Passo 2
Explicação das convenções que vou usar (coisa importante para entender cada manipulação):
- Convenção de soma de Einstein: um índice repetido uma vez como subscrito e outra vez como sobrescrito indica soma sobre todos os valores desse índice. Assim
significa somar sobre e todos os produtos . - Índices repetidos são índices “dummy” (índices de soma) e podem ser renomeados sem alterar o valor da expressão. Por exemplo, a soma
é a mesma que ; na notação indexada escreve-se isso como trocar os nomes dos índices. - Observação útil: para um tensor antissimétrico, as componentes diagonal são nulas porque, para cada índice fixo,
Vou usar esses fatos para provar a igualdade pedida.
Passo 3
Defino a quantidade escalar que queremos avaliar:
Aqui
é um escalar (não depende do nome dos índices), porque todos os índices são contraídos. O objetivo é mostrar
.
Passo 4
Faço a manipulação padrão de trocar os índices dummy. Trocar
e
na soma não altera
. Assim posso escrever:
Agora uso as propriedades de simetria/antissimetria dos tensores dadas:
- Como
, - e
,
substituindo na expressão trocada obtenho
Portanto
Passo 5
Da igualdade
segue imediatamente que
Isso prova que
.
Passo 6
(Comentário extra didático e intuitivo, para fixar:) uma forma alternativa e talvez mais concreta de ver a mesma coisa é expandir a soma componente a componente. Para cada par distinto de índices
com
aparecem na soma os termos
e
. Mas
e
, então esses dois termos somam zero. Para os termos diagonais
a componente antissimétrica satisfaz
. Assim tudo cancela e a soma total é zero — mesma conclusão, vista de outro ângulo.