Dadas as componentes \left\{M^{\alpha \beta}\right\} de um tensor do tipo \binom{2}{0} na forma matricial
\left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & -1 & 0 & 2 \\\\ 2 & 0 & 0 & 1 \\\\ 1 & 0 & -2 & 0 \end{array}\right)
determine
(a) as componentes do tensor simétrico M^{(\alpha \beta)} e do antisimétrico M^{[\alpha \beta]};
(b) as componentes de M^{\alpha}{ }_{\beta};
(c) as componentes de M_{\alpha}{ }^{\beta};
(d) as componentes de M_{\alpha \beta};
(e) levante um índice do tensor métrico e mostre que \eta^{\alpha}{ }_{\beta}=\delta^{\alpha}{ }_{\beta};

Passo 1

O enunciado fornece as componentes do tensor do tipo \binom{2}{0} na forma matricial (as linhas correspondem a \alpha=0,1,2,3 e as colunas a \beta=0,1,2,3):
M^{\alpha\beta}= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & -1 & 0 & 2 \\\\ 2 & 0 & 0 & 1 \\\\ 1 & 0 & -2 & 0 \end{pmatrix}.
O que pediram:
(a) encontrar M^{(\alpha\beta)} e M^{[\alpha\beta]};
(b) calcular M^{\alpha}{}_{\beta};
(c) calcular M_{\alpha}{}^{\beta};
(d) calcular M_{\alpha\beta};
(e) levantar um índice do tensor métrico e mostrar que \eta^{\alpha}{}_{\beta}=\delta^{\alpha}{}_{\beta}.

Passo 2

Definições e ideia do que vamos usar (explicação didática curta):
  • A parte simétrica de um tensor de duas componentes com índices superiores é definida por
M^{(\alpha\beta)}=\tfrac{1}{2}\bigl(M^{\alpha\beta}+M^{\beta\alpha}\bigr).
Isto significa: some a matriz com a sua transposta e divida por 2.
  • A parte antissimétrica é
M^{[\alpha\beta]}=\tfrac{1}{2}\bigl(M^{\alpha\beta}-M^{\beta\alpha}\bigr).
Isto significa: subtraia a transposta da matriz e divida por 2. A parte antissimétrica satisfaz M^{[\beta\alpha]}=-M^{[\alpha\beta]}.
Vou primeiro calcular a transposta M^{\beta\alpha}=(M^{\alpha\beta})^{\mathrm T} e depois aplicar as fórmulas acima.

Passo 3

Calcular a transposta M^{\beta\alpha}. Tomando a transposta da matriz dada obtemos
M^{\beta\alpha} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 & 1 \\\\ 1 & -1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & -2 \\\\ 0 & 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Calcular M^{(\alpha\beta)}=\tfrac{1}{2}(M^{\alpha\beta}+M^{\beta\alpha}). Somando elemento a elemento e dividindo por 2:
M^{\alpha\beta}+M^{\beta\alpha}= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 1 \\\\ 1 & -2 & 0 & 2 \\\\ 2 & 0 & 0 & -1 \\\\ 1 & 2 & -1 & 0 \end{pmatrix},
então
M^{(\alpha\beta)}=\tfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 1 \\\\ 1 & -2 & 0 & 2 \\\\ 2 & 0 & 0 & -1 \\\\ 1 & 2 & -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \tfrac{1}{2} & 1 & \tfrac{1}{2} \\\ \tfrac{1}{2} & -1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 0 & 0 & -\tfrac{1}{2} \\\ \tfrac{1}{2} & 1 & -\tfrac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}.

Passo 5

Calcular M^{[\alpha\beta]}=\tfrac{1}{2}(M^{\alpha\beta}-M^{\beta\alpha}). Subtraindo e dividindo por 2:
M^{\alpha\beta}-M^{\beta\alpha}= \begin{pmatrix} 0 & 1 & -2 & -1 \\\\ -1 & 0 & 0 & 2 \\\\ 2 & 0 & 0 & 3 \\\\ 1 & -2 & -3 & 0 \end{pmatrix},
então
M^{[\alpha\beta]}=\tfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 1 & -2 & -1 \\\\ -1 & 0 & 0 & 2 \\\\ 2 & 0 & 0 & 3 \\\\ 1 & -2 & -3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \tfrac{1}{2} & -1 & -\tfrac{1}{2} \\\\ -\tfrac{1}{2} & 0 & 0 & 1 \\\\ 1 & 0 & 0 & \tfrac{3}{2} \\\ \tfrac{1}{2} & -1 & -\tfrac{3}{2} & 0 \end{pmatrix}.

Passo 6

Agora vamos tratar de levantar/abaixar índices. Primeira explicação didática: para converter índices superiores em inferiores usamos a métrica. Adotarei a métrica de Minkowski no sistema padrão (assinatura (-+++)), ou seja
\eta_{\alpha\beta}=\mathrm{diag}(-1,1,1,1), \qquad \eta^{\alpha\beta}=\mathrm{diag}(-1,1,1,1),
onde \eta^{\alpha\beta} é a inversa de \eta_{\alpha\beta}. Para obter um índice inferior em uma posição usamos multiplicação por \eta, por exemplo:
M^{\alpha}{}_{\beta}=M^{\alpha\gamma}\,\eta_{\gamma\beta}, \qquad M_{\alpha}{}^{\beta}=\eta_{\alpha\gamma}\,M^{\gamma\beta}, \qquad M_{\alpha\beta}=\eta_{\alpha\gamma}\,\eta_{\beta\delta}\,M^{\gamma\delta}.
Praticamente, como \eta é diagonal com componentes \eta_{00}=-1,\\ \eta_{11}=1,\\ \eta_{22}=1,\\ \eta_{33}=1, multiplicar por \eta_{\gamma\beta} corresponde a multiplicar a coluna \beta de M^{\alpha\gamma} por \eta_{\beta\beta}; multiplicar por \eta_{\alpha\gamma} corresponde a multiplicar a linha \alpha por \eta_{\alpha\alpha}. Vou aplicar isso diretamente à matriz dada.

Passo 7

Calcular M^{\alpha}{}_{\beta}=M^{\alpha\gamma}\eta_{\gamma\beta}. Como \eta é diagonal com entradas (-1,1,1,1), cada coluna \beta de M^{\alpha\beta} é multiplicada por \eta_{\beta\beta}. Assim basta multiplicar a primeira coluna por -1 e as demais por +1. Aplicando isso à matriz original obtemos
M^{\alpha}{}_{\beta}= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & -1 & 0 & 2 \\\\ -2 & 0 & 0 & 1 \\\\ -1 & 0 & -2 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 8

Calcular M_{\alpha}{}^{\beta}=\eta_{\alpha\gamma}M^{\gamma\beta}. Agora multiplicamos a linha \alpha de M^{\gamma\beta} por \eta_{\alpha\alpha}. Isso significa multiplicar a primeira linha por -1 e as demais por +1. Aplicando ao dado:
M_{\alpha}{}^{\beta}= \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\\\ 0 & -1 & 0 & 2 \\\\ 2 & 0 & 0 & 1 \\\\ 1 & 0 & -2 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 9

Calcular M_{\alpha\beta}=\eta_{\alpha\gamma}\eta_{\beta\delta}M^{\gamma\delta}. Com \eta diagonal isso equivale a multiplicar o elemento (\alpha,\beta) de M^{\alpha\beta} pelo produto \eta_{\alpha\alpha}\eta_{\beta\beta}. Em prática: multiplica-se a linha \alpha por \eta_{\alpha\alpha} e a coluna \beta por \eta_{\beta\beta}. Aplicando ao original obtemos
M_{\alpha\beta}= \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\\\ 0 & -1 & 0 & 2 \\\\ -2 & 0 & 0 & 1 \\\\ -1 & 0 & -2 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 10

Parte (e): provar que \eta^{\alpha}{}_{\beta}=\delta^{\alpha}{}_{\beta}. Explicação e cálculo:
  • Por definição \eta^{\alpha}{}_{\beta}=\eta^{\alpha\gamma}\eta_{\gamma\beta}.
  • Como \eta^{\alpha\gamma} e \eta_{\gamma\beta} são ambas diagonais com entradas (-1,1,1,1), o produto elemento a elemento na forma de multiplicação matricial dá uma matriz diagonal com entradas (-1)\cdot(-1)=1 e 1\cdot1=1.
    Portanto
\eta^{\alpha}{}_{\beta}= \eta^{\alpha\gamma}\eta_{\gamma\beta}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =\delta^{\alpha}{}_{\beta},
ou seja, ao levantar um índice do tensor métrico obtém-se o delta de Kronecker (a matriz identidade). Isso conclui a demonstração.]

Resposta

(a) M^{(\alpha\beta)}= \begin{pmatrix} 0 & \tfrac{1}{2} & 1 & \tfrac{1}{2} \\\ \tfrac{1}{2} & -1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 0 & 0 & -\tfrac{1}{2} \\\ \tfrac{1}{2} & 1 & -\tfrac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}, \qquad M^{[\alpha\beta]}= \begin{pmatrix} 0 & \tfrac{1}{2} & -1 & -\tfrac{1}{2} \\\\ -\tfrac{1}{2} & 0 & 0 & 1 \\\\ 1 & 0 & 0 & \tfrac{3}{2} \\\ \tfrac{1}{2} & -1 & -\tfrac{3}{2} & 0 \end{pmatrix}.
(b) M^{\alpha}{}_{\beta}= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & -1 & 0 & 2 \\\\ -2 & 0 & 0 & 1 \\\\ -1 & 0 & -2 & 0 \end{pmatrix}.
(c) M_{\alpha}{}^{\beta}= \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\\\ 0 & -1 & 0 & 2 \\\\ 2 & 0 & 0 & 1 \\\\ 1 & 0 & -2 & 0 \end{pmatrix}.
(d) M_{\alpha\beta}= \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\\\ 0 & -1 & 0 & 2 \\\\ -2 & 0 & 0 & 1 \\\\ -1 & 0 & -2 & 0 \end{pmatrix}.
(e) \eta^{\alpha}{}_{\beta}=\eta^{\alpha\gamma}\eta_{\gamma\beta}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\delta^{\alpha}{}_{\beta}.]

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