determine
(a) as componentes do tensor simétrico M^{(\alpha \beta)} e do antisimétrico M^{[\alpha \beta]};
(b) as componentes de M^{\alpha}{ }_{\beta};
(c) as componentes de M_{\alpha}{ }^{\beta};
(d) as componentes de M_{\alpha \beta};
(e) levante um índice do tensor métrico e mostre que \eta^{\alpha}{ }_{\beta}=\delta^{\alpha}{ }_{\beta};
Passo 1
O enunciado fornece as componentes do tensor do tipo \binom{2}{0} na forma matricial (as linhas correspondem a \alpha=0,1,2,3 e as colunas a \beta=0,1,2,3):
O que pediram:
(a) encontrar M^{(\alpha\beta)} e M^{[\alpha\beta]};
(b) calcular M^{\alpha}{}_{\beta};
(c) calcular M_{\alpha}{}^{\beta};
(d) calcular M_{\alpha\beta};
(e) levantar um índice do tensor métrico e mostrar que \eta^{\alpha}{}_{\beta}=\delta^{\alpha}{}_{\beta}.
Passo 2
Definições e ideia do que vamos usar (explicação didática curta):
A parte simétrica de um tensor de duas componentes com índices superiores é definida por
Isto significa: subtraia a transposta da matriz e divida por 2. A parte antissimétrica satisfaz M^{[\beta\alpha]}=-M^{[\alpha\beta]}.
Vou primeiro calcular a transposta M^{\beta\alpha}=(M^{\alpha\beta})^{\mathrm T} e depois aplicar as fórmulas acima.
Passo 3
Calcular a transposta M^{\beta\alpha}. Tomando a transposta da matriz dada obtemos
Agora vamos tratar de levantar/abaixar índices. Primeira explicação didática: para converter índices superiores em inferiores usamos a métrica. Adotarei a métrica de Minkowski no sistema padrão (assinatura (-+++)), ou seja
Praticamente, como \eta é diagonal com componentes \eta_{00}=-1,\\ \eta_{11}=1,\\ \eta_{22}=1,\\ \eta_{33}=1, multiplicar por \eta_{\gamma\beta} corresponde a multiplicar a coluna \beta de M^{\alpha\gamma} por \eta_{\beta\beta}; multiplicar por \eta_{\alpha\gamma} corresponde a multiplicar a linha \alpha por \eta_{\alpha\alpha}. Vou aplicar isso diretamente à matriz dada.
Passo 7
Calcular M^{\alpha}{}_{\beta}=M^{\alpha\gamma}\eta_{\gamma\beta}. Como \eta é diagonal com entradas (-1,1,1,1), cada coluna \beta de M^{\alpha\beta} é multiplicada por \eta_{\beta\beta}. Assim basta multiplicar a primeira coluna por -1 e as demais por +1. Aplicando isso à matriz original obtemos
Calcular M_{\alpha}{}^{\beta}=\eta_{\alpha\gamma}M^{\gamma\beta}. Agora multiplicamos a linha \alpha de M^{\gamma\beta} por \eta_{\alpha\alpha}. Isso significa multiplicar a primeira linha por -1 e as demais por +1. Aplicando ao dado:
Calcular M_{\alpha\beta}=\eta_{\alpha\gamma}\eta_{\beta\delta}M^{\gamma\delta}. Com \eta diagonal isso equivale a multiplicar o elemento (\alpha,\beta) de M^{\alpha\beta} pelo produto \eta_{\alpha\alpha}\eta_{\beta\beta}. Em prática: multiplica-se a linha \alpha por \eta_{\alpha\alpha} e a coluna \beta por \eta_{\beta\beta}. Aplicando ao original obtemos
Parte (e): provar que \eta^{\alpha}{}_{\beta}=\delta^{\alpha}{}_{\beta}. Explicação e cálculo:
Por definição \eta^{\alpha}{}_{\beta}=\eta^{\alpha\gamma}\eta_{\gamma\beta}.
Como \eta^{\alpha\gamma} e \eta_{\gamma\beta} são ambas diagonais com entradas (-1,1,1,1), o produto elemento a elemento na forma de multiplicação matricial dá uma matriz diagonal com entradas (-1)\cdot(-1)=1 e 1\cdot1=1.
Portanto