Sejam p, q e r três números primos maiores do que 3 e que formam uma progressão aritmética: p=p, q=p+d e r=p+2 d. Prove que d é divisível por 6 .

Passo 1

O enunciado diz que p,q,r são números primos maiores que 3 e formam uma progressão aritmética de razão d, ou seja
q = p + d, r = p + 2d
Queremos provar que d é divisível por 6. Para isso, vamos usar argumentos de aritmética modular, mostrando primeiramente que 2mid d (paridade) e depois que 3mid d (módulo 3).

Passo 2

Como p e q são primos maiores que 3, eles são obrigatoriamente ímpares. Logo
pequiv 1pmod2, qequiv 1pmod2
Então
d = q - p equiv 1 - 1 equiv 0pmod2,
isto é, 2mid d.

Passo 3

Também, sendo p um primo maior que 3, ele não pode ser múltiplo de 3, então
pequiv pm1pmod3
Suponha por contradição que dnotequiv 0pmod3. Então dequiv 1 ou dequiv 2pmod3.
  • Se pequiv 1pmod3 e dequiv 1pmod3, então q = p+dequiv 1+1equiv 2pmod3, r = p+2dequiv 1+2equiv 0pmod3, o que faz r múltiplo de 3 e maior que 3, logo não primo. Contradição.
  • Se pequiv 1pmod3 e dequiv 2pmod3, então qequiv 1+2equiv 0pmod3, contradizendo o fato de q ser primo maior que 3. Casos análogos ocorrem se pequiv -1pmod3.
    Portanto a única opção é
d equiv 0pmod3,
ou seja, 3mid d.

Passo 4

Juntando 2mid d e 3mid d, concluímos que
6 = mcm(2,3)mid d

Resposta

d é divisível por 6.

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