Sejam
e
três números primos maiores do que 3 e que formam uma progressão aritmética:
e
. Prove que
é divisível por 6 .
Passo 1
O enunciado diz que
são números primos maiores que 3 e formam uma progressão aritmética de razão
, ou seja
Queremos provar que
é divisível por 6. Para isso, vamos usar argumentos de aritmética modular, mostrando primeiramente que
(paridade) e depois que
(módulo 3).
Passo 2
Como
e
são primos maiores que 3, eles são obrigatoriamente ímpares. Logo
Então
isto é,
.
Passo 3
Também, sendo
um primo maior que 3, ele não pode ser múltiplo de 3, então
Suponha por contradição que
. Então
ou
.
- Se
e , então o que faz múltiplo de 3 e maior que 3, logo não primo. Contradição. - Se
e , então contradizendo o fato de ser primo maior que 3. Casos análogos ocorrem se .
Portanto a única opção é
ou seja,
.
Passo 4
Juntando
e
, concluímos que