Mostre que para um natural n, temos que n^{4}+n^{2}+1 é composto sempre que n>1.

Passo 1

O enunciado pede: mostrar que, para um natural n com n>1, o número n^{4}+n^{2}+1 é composto (ou seja, não é primo; pode ser escrito como produto de inteiros maiores que 1).\n
Informações dadas:
  • n é natural e satisfaz n>1.
  • A expressão a estudar é n^{4}+n^{2}+1.

Passo 2

Ideia principal: tentar fatorar \,n^{4}+n^{2}+1 como produto de dois polinômios em n com coeficientes inteiros, ambos maiores que 1 quando n>1. Uma fatoração clássica (que vamos verificar) é
n^{4}+n^{2}+1=(n^{2}+n+1)(n^{2}-n+1).
Agora vamos confirmar essa identidade expandindo o produto do lado direito passo a passo.

Passo 3

Expandir o produto (n^{2}+n+1)(n^{2}-n+1). Multiplicando termo a termo:
\begin{aligned} (n^{2}+n+1)(n^{2}-n+1) &= n^{2}\cdot n^{2} + n^{2}\cdot(-n) + n^{2}\cdot 1 \\\ &\quad + n\cdot n^{2} + n\cdot(-n) + n\cdot 1 \\\ &\quad + 1\cdot n^{2} + 1\cdot(-n) + 1\cdot 1. \end{aligned}
Agora somando os termos semelhantes:
\begin{aligned} &= n^{4} - n^{3} + n^{2} + n^{3} - n^{2} + n + n^{2} - n + 1 \\\ &= n^{4} + n^{2} + 1. \end{aligned}
As cancelamentos -n^{3}+n^{3}=0 e -n^{2}+n^{2}=0 deixam exatamente n^{4}+n^{2}+1. Portanto a identidade está provada:
n^{4}+n^{2}+1=(n^{2}+n+1)(n^{2}-n+1).

Passo 4

Agora verificar que, para n>1, ambos os fatores são inteiros maiores que 1, o que garante que n^{4}+n^{2}+1 é composto.
Calcule um limite inferior para o fator menor:
n^{2}-n+1 = n(n-1)+1.
Como n>1, temos n\ge 2, logo n-1\ge 1 e portanto
n(n-1)+1 \ge 2\cdot 1 + 1 = 3.
Assim \,n^{2}-n+1\ge 3>1 para todo n\ge 2.
Para o outro fator,
n^{2}+n+1 = n^{2}-n+1 + 2n \ge 3 + 2\cdot 2 = 7
quando n\ge 2; de qualquer forma, claramente n^{2}+n+1> n^{2}-n+1\ge 3, então também é maior que 1.
Portanto, para todo n>1, ambos \,n^{2}+n+1 e \,n^{2}-n+1 são inteiros estritamente maiores que 1.

Passo 5

Conclusão: como n^{4}+n^{2}+1 foi escrita como produto de dois inteiros maiores que 1,
n^{4}+n^{2}+1=(n^{2}+n+1)(n^{2}-n+1),
segue-se que n^{4}+n^{2}+1 é composto para todo natural n>1. (Observação: para n=1 a expressão vale 1^{4}+1^{2}+1=3, que é primo, por isso a condição n>1 é necessária.)

Resposta

\displaystyle n^{4}+n^{2}+1=(n^{2}+n+1)(n^{2}-n+1), e para n>1 ambos os fatores são maiores que 1, logo n^{4}+n^{2}+1 é composto.

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