Mostre que para um natural
, temos que
é composto sempre que
.
Passo 1
O enunciado pede: mostrar que, para um natural
com
, o número
é composto (ou seja, não é primo; pode ser escrito como produto de inteiros maiores que
).\n
Informações dadas:
Informações dadas:
-
é natural e satisfaz . - A expressão a estudar é
.
Passo 2
Ideia principal: tentar fatorar
como produto de dois polinômios em
com coeficientes inteiros, ambos maiores que
quando
. Uma fatoração clássica (que vamos verificar) é
Agora vamos confirmar essa identidade expandindo o produto do lado direito passo a passo.
Passo 3
Expandir o produto
. Multiplicando termo a termo:
Agora somando os termos semelhantes:
As cancelamentos
e
deixam exatamente
. Portanto a identidade está provada:
Passo 4
Agora verificar que, para
, ambos os fatores são inteiros maiores que
, o que garante que
é composto.
Calcule um limite inferior para o fator menor:
Como
, temos
, logo
e portanto
Assim
para todo
.
Para o outro fator,
quando
; de qualquer forma, claramente
, então também é maior que
.
Portanto, para todo
, ambos
e
são inteiros estritamente maiores que
.
Passo 5
Conclusão: como
foi escrita como produto de dois inteiros maiores que
,
segue-se que
é composto para todo natural
. (Observação: para
a expressão vale
, que é primo, por isso a condição
é necessária.)