Use o método do Exercício 9 para resolver a equação diferencial.
c) y^{\prime}+y=x y^{3}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y' + y = x\,y^{3}
que é do tipo de Bernoulli
y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n}
com P(x)=1, Q(x)=x e n=3. Vamos usar a substituição
z = y^{1-n} = y^{-2}
para reduzir a um problema de equação linear em z.

Passo 2

Calculamos z' em função de y. Como z=y^{-2},
z' = -2\,y^{-3}\,y'
e da equação original temos
y' = x\,y^{3} - y.
Substituindo em z' resulta
z' = -2\,y^{-3}\bigl(x\,y^{3} - y\bigr) = -2\bigl(x - y^{-2}\bigr) = -2x + 2\,z.
Portanto a equação para z é
z' - 2\,z = -2\,x.

Passo 3

Temos agora uma equação linear de primeira ordem em z:
z' - 2\,z = -2\,x.
O fator integrante é
\mu(x) = e^{\int -2\,dx} = e^{-2x}.
Multiplicando a equação por \mu(x) obtemos
e^{-2x}z' - 2\,e^{-2x}z = -2x\,e^{-2x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}\bigl(e^{-2x}z\bigr) = -2x\,e^{-2x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
e^{-2x}z = \int -2x\,e^{-2x}\,dx.
Para calcular \displaystyle\int -2x\,e^{-2x}dx usamos integração por partes com
u = -2x,\quad dv = e^{-2x}dx \;\Longrightarrow\; du = -2\,dx,\quad v = -\tfrac12\,e^{-2x}.
Logo
\int -2x\,e^{-2x}dx = u\,v - \int v\,du = \bigl(-2x\bigr)\bigl(-\tfrac12e^{-2x}\bigr) - \int \bigl(-\tfrac12e^{-2x}\bigr)\bigl(-2\bigr)dx = x\,e^{-2x} - \int e^{-2x}dx = x\,e^{-2x} + \tfrac12\,e^{-2x} + C.
Portanto
e^{-2x}z = e^{-2x}\Bigl(x + \tfrac12\Bigr) + C \;\Longrightarrow\; z = x + \tfrac12 + C\,e^{2x}.

Passo 5

Voltando à variável original, z = y^{-2}, temos
y^{-2} = x + \tfrac12 + C\,e^{2x} \quad\Longrightarrow\quad y^{2} = \frac{1}{\,x + \tfrac12 + C\,e^{2x}\,} \quad\Longrightarrow\quad y = \pm \frac{1}{\sqrt{x + \tfrac12 + C\,e^{2x}}}\!.

Resposta

y(x) = \pm \frac{1}{\sqrt{x + \tfrac12 + C\,e^{2x}}},
onde C é constante arbitrária.

Exercícios relacionados