Suponha que partial fpartial u(1,2)=-5 e partial fpartial v(1,2)=10, onde u=(34,-45) e v=(45,-35). Determine:
fx(1,2)

Passo 1

O enunciado diz que conhecemos as derivadas direcionais de f no ponto (1,2) nas direções u=(3/4,-4/5) e v=(4/5,-3/5), e pede fx(1,2). O conteúdo aqui é gradiente e derivada direcional, e vamos usar que a derivada direcional de f em direção w é dado por nabla fcdot w.

Passo 2

Supondo nabla f(1,2)=(fx,fy), escrevemos as duas derivadas direcionais como produto escalar:
ucdotnabla f=(3/4)fx-tfrac45fy=-5
vcdotnabla f=(4/5)fx-tfrac35fy=10

Passo 3

Multiplicamos cada equação para eliminar denominadores e montar um sistema linear:
Da primeira: 15fx-16fy=-100.
Da segunda: 4fx-3fy=50.

Passo 4

Resolvendo o sistema
De 4fx-3fy=50 temos fx=(50+3fy)/4. Substituindo em 15fx-16fy=-100 e resolvendo, encontramos fy=1150/19 e então fx=1100/19.

Resposta

fx(1,2)=110019

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