Suponha que partial fpartial u(1,2)=-5 e partial fpartial v(1,2)=10, onde u=(34,-45) e v=(45,-35). Determine:
fy(1,2)

Passo 1

O enunciado diz que temos as derivadas direcionais de uma função f em dois vetores u e v no ponto (1,2), e queremos encontrar f_y(1,2). O conteúdo aqui é derivada direcional e gradiente: sabemos que a derivada direcional de f ao longo de um vetor w é dada por ∇f·w.

Passo 2

Vamos usar que ∂f/∂u(1,2)=−5 e ∂f/∂v(1,2)=10 viram as projeções do gradiente nos vetores u e v, isto é,
[\n∇f(1,2)\cdot \mathbf{u}=-5,\\n∇f(1,2)\cdot \mathbf{v}=10,\n]
Substituindo ∇f(1,2)=(fx,fy), u=(3/4,-4/5) e v=(4/5,-3/5), obtemos o sistema
[\n\frac{3}{4}f_x-\frac{4}{5}f_y=-5,\\n\frac{4}{5}f_x-\frac{3}{5}f_y=10.\n]

Passo 3

Resolvendo esse sistema por eliminação: multiplicamos a primeira equação por 20 e a segunda por 5, obtendo
[\n15f_x-16f_y=-100,\\n4f_x-3f_y=50.\n]
A partir daí eliminamos f_x (por exemplo, escalonando e subtraindo) e chegamos a
[\n19f_y=1150,\n]
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[\nf_y=\frac{1150}{19}.\n]

Resposta

fy(1,2)=115019

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