Suponha que
e
, onde
e
. Determine:
Passo 1
O enunciado diz que temos as derivadas direcionais de uma função f em dois vetores u e v no ponto (1,2), e queremos encontrar f_y(1,2). O conteúdo aqui é derivada direcional e gradiente: sabemos que a derivada direcional de f ao longo de um vetor w é dada por ∇f·w.
Passo 2
Vamos usar que ∂f/∂u(1,2)=−5 e ∂f/∂v(1,2)=10 viram as projeções do gradiente nos vetores u e v, isto é,
[\n∇f(1,2)\cdot \mathbf{u}=-5,\\n∇f(1,2)\cdot \mathbf{v}=10,\n]
Substituindo ,
e
, obtemos o sistema
[\n\frac{3}{4}f_x-\frac{4}{5}f_y=-5,\\n\frac{4}{5}f_x-\frac{3}{5}f_y=10.\n]
[\n∇f(1,2)\cdot \mathbf{u}=-5,\\n∇f(1,2)\cdot \mathbf{v}=10,\n]
Substituindo
[\n\frac{3}{4}f_x-\frac{4}{5}f_y=-5,\\n\frac{4}{5}f_x-\frac{3}{5}f_y=10.\n]
Passo 3
Resolvendo esse sistema por eliminação: multiplicamos a primeira equação por 20 e a segunda por 5, obtendo
[\n15f_x-16f_y=-100,\\n4f_x-3f_y=50.\n]
A partir daí eliminamos f_x (por exemplo, escalonando e subtraindo) e chegamos a
[\n19f_y=1150,\n]
logo
[\nf_y=\frac{1150}{19}.\n]
[\n15f_x-16f_y=-100,\\n4f_x-3f_y=50.\n]
A partir daí eliminamos f_x (por exemplo, escalonando e subtraindo) e chegamos a
[\n19f_y=1150,\n]
logo
[\nf_y=\frac{1150}{19}.\n]