Suponha uma partícula de massa m no estado
Psi(x, t)=A e^-a[m x^2hbar+i t]
onde A e a são constantes.
Determine a constante de normalização A.

Passo 1

Beleza, a questão diz que temos uma partícula de massa Psi(x,t) = A,e^-al[tfracm,x^2hbar+i,tr] com função de onda
e pede pra achar a constante de normalização .
Conteúdo: mecânica quântica elementar, mais especificamente a condição de normalização de uma função de onda unidimensional.
O que vamos usar:
  1. A definição de normalização: .
  2. A forma de um integral Gaussiano padrão para .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o módulo quadrado |Psi(x,t)|^2 = Psi^*(x,t),Psi(x,t) :
|Psi|^2 = |A|^2,e^-al(m x^2hbar+i tr),e^-al(m x^2hbar-i tr) = |A|^2,e^-2am x^2hbar
Como , o conjugado complexo é
.
Multiplicando os dois:
O fator some porque seu conjugado traz .

Passo 3

Agora aplicamos a condição de normalização:
integral-infty^infty|Psi(x,t)|^2,dx = |A|^2 integral-infty^infty e^-2amhbar,x^2,dx =1
Vamos identificar o parâmetro do integral Gaussiano:
alpha = 2amhbar(Re(alpha)>0 porque a>0)
Então
integral-infty^inftye^-alpha x^2,dx = raizpialpha = raizpi2a,m/hbar = raizpi,hbar2a,m
Substituindo de volta:
|A|^2 ,raizpi,hbar2a,m = 1 Longrightarrow |A|^2 = raiz2a,mpi,hbar

Resposta

Escolhendo A = (2a,mpi,hbar)^1/4 real e positivo para simplificar,

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