Demonstre o teorema de Ehrenfest
dlang<= prang<=d t=-lang<=partial Vpartial xrang<=

Passo 1

Então, o enunciado pede para a gente provar o teorema de Ehrenfest
dlang<= prang<=d t=-lang<=partial Vpartial xrang<=,
Isso faz parte de Mecânica Quântica, mais especificamente da parte sobre valores esperados e evolução temporal de operadores.
O que vamos usar:
1. Definição de valor esperado de um operador hat A:
lang<= Arang<= = integral psi^*(x,t),hat A,psi(x,t),dx,
  1. Equação de Schrödinger dependente do tempo e sua conjugada: ihbarpartialpsipartial t=hat H,psi, -,ihbarpartialpsi^*partial t=psi^*,hat H,
    3. A fórmula geral para a derivada temporal de lang<= Arang<= (sem dependência explícita de tempo em hat A):
    ddtlang<= Arang<= = 1ihbarlang<= [hat A,hat H]rang<=,
  2. Definição de momento canônico e Hamiltoniano: hat p = -,ihbarpartialpartial x, hat H = hat p^22m + V(hat x),

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a expressão geral da derivada de um valor esperado, quando o operador não depende do tempo de forma explícita. Começamos com
lang<= Arang<= = integral psi^*,hat A,psi,dx
e derivamos em relação a t:
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle A\rangle
=\int\Bigl(\dot\psi^,\hat A,\psi + \psi^,\hat A,\dot\psi\Bigr)\mathrm{d}x,. ddtlang<= Arang<= =integrall(dotpsi^*,hat A,psi + psi^*,hat A,dotpsir)dx, çõö\dot\psi = -\frac{i}{\hbar}\hat H,\psi,\quad
\dot\psi^* = \frac{i}{\hbar}\psi^*,\hat H,. dotpsiàóã\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle A\rangle
=\frac{1}{i\hbar}\int\psi^*\bigl(\hat A\hat H - \hat H\hat A\bigr)\psi,\mathrm{d}x
=\frac{1}{i\hbar}\langle[\hat A,\hat H]\rangle,. $$

Passo 3

Agora, escolhemos hat A=hat p. Como hat p não depende de t explicitamente, vale:
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle p\rangle
=\frac{1}{i\hbar}\langle[\hat p,\hat H]\rangle,. ddtlang<= prang<= =1ihbarlang<=[hat p,hat H]rang<=, éã[\hat p,\hat H]
=\underbrace{[\hat p,\tfrac{\hat p^2}{2m}]}_{=0}
+[\hat p,V(\hat x)]
=0+[\hat p,V(\hat x)],. hat H=hat p^2/(2m)+V(hat x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle p\rangle
=\frac{1}{i\hbar}\langle[\hat p,V(\hat x)]\rangle,. $$

Passo 4

Falta calcular [hat p,V(hat x)]. Lembra que hat p=-ihbar,partialx. Então, ao agirmos em uma função phi(x):
l(hat p,V - V,hat pr)phi =-ihbar,partialxl(Vphir)+ihbar,V,partialxphi =-ihbarl(V'phi + V,partialxphir)+ihbar,V,partialxphi =-ihbar,V',phi,
Isso mostra
[hat p,V(hat x)] = -,ihbar,dVdx(hat x),
Substituindo de volta:
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle p\rangle
=\frac{1}{i\hbar}\Big\langle -,i\hbar,\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x}\Big\rangle
=-,\Big\langle\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x}\Big\rangle,. $$

Resposta

boxeddlang<= prang<=d t ;=;-,lang<=partial Vpartial xrang<=,

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