Demonstre o teorema de Ehrenfest
Passo 1
Então, o enunciado pede para a gente provar o teorema de Ehrenfest
Isso faz parte de Mecânica Quântica, mais especificamente da parte sobre valores esperados e evolução temporal de operadores.
O que vamos usar:
1. Definição de valor esperado de um operador
- Equação de Schrödinger dependente do tempo e sua conjugada:
3. A fórmula geral para a derivada temporal de(sem dependência explícita de tempo em ):
- Definição de momento canônico e Hamiltoniano:
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a expressão geral da derivada de um valor esperado, quando o operador não depende do tempo de forma explícita. Começamos com
e derivamos em relação a
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle A\rangle
=\int\Bigl(\dot\psi^,\hat A,\psi + \psi^,\hat A,\dot\psi\Bigr)\mathrm{d}x,.
\dot\psi = -\frac{i}{\hbar}\hat H,\psi,\quad
\dot\psi^* = \frac{i}{\hbar}\psi^*,\hat H,.
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle A\rangle
=\frac{1}{i\hbar}\int\psi^*\bigl(\hat A\hat H - \hat H\hat A\bigr)\psi,\mathrm{d}x
=\frac{1}{i\hbar}\langle[\hat A,\hat H]\rangle,. $$
Passo 3
Agora, escolhemos
. Como
não depende de
explicitamente, vale:
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle p\rangle
=\frac{1}{i\hbar}\langle[\hat p,\hat H]\rangle,.
[\hat p,\hat H]
=\underbrace{[\hat p,\tfrac{\hat p^2}{2m}]}_{=0}
+[\hat p,V(\hat x)]
+[\hat p,V(\hat x)]
=0+[\hat p,V(\hat x)],.
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle p\rangle
=\frac{1}{i\hbar}\langle[\hat p,V(\hat x)]\rangle,. $$
Passo 4
Falta calcular
. Lembra que
. Então, ao agirmos em uma função
:
Isso mostra
Substituindo de volta:
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle p\rangle
=\frac{1}{i\hbar}\Big\langle -,i\hbar,\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x}\Big\rangle
=-,\Big\langle\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x}\Big\rangle,. $$