Suponha uma partícula de massa m no estado
Psi(x, t)=A e^-a[m x^2hbar+i t]
onde A e a são constantes.
O produto de sigmap e sigmax é consistente com o princípio da incerteza?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem uma partícula de massa Psi(x,t)=A,e^-al[m x^2hbar+i,tr], com a função de onda
onde e são constantes. A pergunta é: ao calcularmos os desvios padrão e , o produto respeita o princípio da incerteza de Heisenberg?
Conteúdo necessário: incerteza quântica, cálculo de e para um pacote de onda Gaussiano, integração de Gaussianas.

Passo 2

Primeiro, note que a parte em |Psi(x,t)|^2 = |A|^2,e^-2,a,m x^2hbar, , o fator alpha ;=;a,mhbar , é só uma fase global: ela não muda P(x)=N,e^-2,alpha x^2, . Então a densidade de probabilidade é
sigmax^2 ;=;integral x^2,P(x),dx ;=;14,alpha
ou seja, é uma Gaussiana em com “largura” controlada por
Para uma Gaussiana do tipo
a variância é

Passo 3

Vamos calcular sigmax^2 = 14,alpha = 14,hbara,m Longrightarrow sigmax = raizhbar4,a,m . Como ,

Passo 4

Agora lang<= prang<= = 0 e lang<= p^2rang<= = integral Psi^*,l(-hbar^2partialx^2r),Psi,dx . Em posição, o operador momento é sigmap^2 = lang<= p^2rang<= = hbar^2,alpha Longrightarrow sigmap = hbar,raizalpha = hbar,raiza,mhbar = raiza,m,hbar . A gente precisa de
Para uma Gaussiana , o cálculo dá

Passo 5

Multiplicando
sigmax,sigmap = raizhbar4,a,m;times;raiza,m,hbar = hbar2
Isso mostra que
sigmax,sigmap = hbar2,
que é exatamente o limite mínimo do princípio da incerteza de Heisenberg.

Resposta

Sim! O produto , ou seja, atinge o limite mínimo permitido pelo princípio da incerteza.

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