Beleza! A gente tem dois vetores aqui: e . O exercício pede pra gente descobrir três coisas: o ângulo entre eles, a área do paralelogramo que eles formam e um vetor unitário que seja perpendicular aos dois. Para resolver isso, vamos precisar usar alguns conceitos de produto escalar, produto vetorial e propriedades dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o ângulo entre os vetores e . A fórmula que a gente usa aqui é:
Então, precisamos calcular o produto escalar e as magnitudes e .
Passo 3
Calculando o produto escalar:
Aqui, o termo na é zero porque está no plano XY.
Passo 4
Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores:
Passo 5
Agora, aplicando na fórmula do cosseno:
Para achar o ângulo , tiramos o arco cosseno desse valor:
Passo 6
Agora, vamos para a área do paralelogramo formado pelos vetores e . A fórmula é:
Então, precisamos calcular o produto vetorial e depois a sua magnitude.
Então, a área do paralelogramo é aproximadamente 12.88 unidades quadradas.
Passo 9
Por fim, queremos um vetor unitário que seja perpendicular aos dois vetores dados, ou seja, um vetor na direção de A times B. Já calculamos A times B = 9i - 6j -7k e sua magnitude é raiz166.
Passo 10
Para obter o vetor unitário, dividimos cada componente por raiz166:
u = 1raiz166 (9i - 6j -7k) approx ( 912.88 ) i - ( 612.88 ) j - ( 712.88 ) k
u approx 0.700i - 0.466j - 0.544k
Resposta
(a) O ângulo entre A e B é aproximadamente 106.2^circ.
(b) A área do paralelogramo formado por A e B é aproximadamente 12.88 unidades quadradas.