Dados dois vetores, A=2 i+3 j e B=i-2 j+3 k, achar:
(a) o ângulo entre eles;
(b) a área do paralelogramo formado por eles;
© um vetor unitário perpendicular aos dois vetores dados.

Passo 1

Beleza! A gente tem dois vetores aqui: A = 2i + 3j e B = i - 2j + 3k. O exercício pede pra gente descobrir três coisas: o ângulo entre eles, a área do paralelogramo que eles formam e um vetor unitário que seja perpendicular aos dois. Para resolver isso, vamos precisar usar alguns conceitos de produto escalar, produto vetorial e propriedades dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o ângulo entre os vetores A e B. A fórmula que a gente usa aqui é:
cos(theta) = A cdot B|A| , |B|
Então, precisamos calcular o produto escalar A cdot B e as magnitudes |A| e |B|.

Passo 3

Calculando o produto escalar:
A cdot B = (2)(1) + (3)(-2) + (0)(3) = 2 - 6 + 0 = -4
Aqui, o termo k na A é zero porque A está no plano XY.

Passo 4

Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores:
|A| = raiz2^2 + 3^2 = raiz4 + 9 = raiz13
|B| = raiz1^2 + (-2)^2 + 3^2 = raiz1 + 4 + 9 = raiz14

Passo 5

Agora, aplicando na fórmula do cosseno:
cos(theta) = -4raiz13 times raiz14 = -4raiz182 approx -413.49 approx -0.297
Para achar o ângulo theta, tiramos o arco cosseno desse valor:
theta approx cos^-1(-0.297) approx 106.2^circ

Passo 6

Agora, vamos para a área do paralelogramo formado pelos vetores A e B. A fórmula é:
Área = |A times B| Á
Então, precisamos calcular o produto vetorial A times B e depois a sua magnitude.

Passo 7

Calculando o produto vetorial:
A times B = i & j & k 2 & 3 & 0 1 & -2 & 3 = i(3 times 3 - 0 times (-2)) - j(2 times 3 - 0 times 1) + k(2 times (-2) - 3 times 1)
= i(9 - 0) - j(6 - 0) + k(-4 - 3) = 9i - 6j -7k

Passo 8

Agora, a magnitude desse vetor:
|A times B| = raiz9^2 + (-6)^2 + (-7)^2 = raiz81 + 36 + 49 = raiz166 approx 12.88
Então, a área do paralelogramo é aproximadamente 12.88 unidades quadradas.

Passo 9

Por fim, queremos um vetor unitário que seja perpendicular aos dois vetores dados, ou seja, um vetor na direção de A times B. Já calculamos A times B = 9i - 6j -7k e sua magnitude é raiz166.

Passo 10

Para obter o vetor unitário, dividimos cada componente por raiz166:
u = 1raiz166 (9i - 6j -7k) approx ( 912.88 ) i - ( 612.88 ) j - ( 712.88 ) k
u approx 0.700i - 0.466j - 0.544k

Resposta

(a) O ângulo entre A e B é aproximadamente 106.2^circ.
(b) A área do paralelogramo formado por A e B é aproximadamente 12.88 unidades quadradas.
© Um vetor unitário perpendicular aos dois vetores dados é aproximadamente u = 0.700,i - 0.466,j - 0.544,k.

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