Questão 4 Ainda não respondida Vale 2,00 ponto(s). \downarrow Marcar questão

Atenção às instruções:

  • anote os valores que você obtiver, pois precisará deles na próxima questão;
  • adote \mathrm{h}=6,626 \times 10^{-34} \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~kg} / \mathrm{s} em todos os cálculos.
  • Nesta questão, use como indicador de separação dos decimais o ponto (.), assim, por exemplo, valor 3.45 \times 10^{-5}=3.45 E-5.
  • Não é necessário indicar unidades na sua resposta.
Quanto tratamos de Física Quântica, um aspecto importante é determinar quantitativamente grandezas que nos levam a uma interpretaçāo física do problema em questāo. Neste caso consideramos uma partícula com massa 9,355 \times 10^{-28} \mathrm{~kg}, apresenta um comprimento de onda 3.0 \mathrm{E}-9 m . Determine a velocidade desta partícula \mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s}.
\square
Considere, agora, um objeto pequeno, de massa 7.0E-6 gramas, com um comprimento de onda 1.9 \mathrm{E}-8 \mathrm{~m}. Determine a velocidade desta partícula.
\square
Qual deveria ser o comprimento de onda do objeto pequeno do item b para que a sua velocidade fosse igual ao da partícula subatômica do item a?
\square

Passo 1

O enunciado pede três coisas, em sequência:
  1. Determinar a velocidade da partícula subatômica dada sua massa e seu comprimento de onda.
  2. Determinar a velocidade de um objeto pequeno (com massa dada em gramas) com um comprimento de onda dado.
  3. Determinar qual deveria ser o comprimento de onda do objeto pequeno do item (2) para que sua velocidade fosse igual à da partícula do item (1).
Informações relevantes fornecidas (vou listar tudo explicitamente):
  • Constante de Planck (adotada): h = 6.626\times 10^{-34} (em unidades SI, já fornecida).
  • Item (a): massa da partícula subatômica m_a = 9.355\times 10^{-28} kg e comprimento de onda \lambda_a = 3.0\mathrm{E}{-9} m (ou seja \lambda_a = 3{.}0\times 10^{-9} m).
  • Item (b): massa do objeto pequeno m_b = 7.0\mathrm{E}{-6} g (atenção: está em gramas, é preciso converter para kg) e comprimento de onda \lambda_b = 1.9\mathrm{E}{-8} m.
  • Observação: não é preciso indicar unidades na resposta final, mas aqui usarei unidades para explicar e converter corretamente.

Passo 2

Conceito físico e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Na física quântica a relação de De Broglie conecta o comprimento de onda \lambda de uma partícula com seu momento linear p por:
\lambda = \frac{h}{p}.
  • O momento linear p para velocidades não relativísticas é p = m v, onde m é a massa e v a velocidade da partícula.
  • Substituindo p=m v em \lambda = h/p, obtemos a fórmula para a velocidade:
v = \frac{h}{m\,\lambda}.
Explicando cada símbolo:
  • v é a velocidade que queremos (unidade SI: m/s).
  • h é a constante de Planck dada.
  • m é a massa da partícula em kg (atenção a converter g para kg quando necessário).
  • \lambda é o comprimento de onda em metros.
Essa fórmula é direta e muito útil na prova: se souber h, m e \lambda você calcula v com uma divisão simples.

Passo 3

Cálculo da velocidade da partícula subatômica (item a).
Dados: h = 6.626\times 10^{-34}, m_a = 9.355\times 10^{-28} kg, \lambda_a = 3.0\times 10^{-9} m.
Aplicando a fórmula \;v=\dfrac{h}{m\lambda}\;:
v_a = \frac{6.626\times 10^{-34}}{(9.355\times 10^{-28})\,(3.0\times 10^{-9})}.
Faço a conta em duas partes: produto no denominador e depois a divisão.
  • Produto no denominador:
(9.355\times 10^{-28})\,(3.0\times 10^{-9}) = (9.355\cdot 3.0)\times 10^{-28-9} = 28.065\times 10^{-37} = 2.8065\times 10^{-36}.
  • Divisão:
v_a = \frac{6.626\times 10^{-34}}{2.8065\times 10^{-36}} = \left(\frac{6.626}{2.8065}\right)\times 10^{(-34)-(-36)} = \left(\frac{6.626}{2.8065}\right)\times 10^{2}.
Calculando o quociente numérico \frac{6.626}{2.8065}\approx 2{.}36.
Portanto:
v_a \approx 2{.}36\times 10^{2}.
(Isto é aproximadamente 236 m/s — estou mantendo notação científica com 3 algarismos significativos.)

Passo 4

Cálculo da velocidade do objeto pequeno (item b).
Primeiro: converter massa de gramas para quilogramas. Dado m_b = 7.0\mathrm{E}{-6} g.
  • Conversão: 1 g = 10^{-3} kg, então
m_b = 7.0\times 10^{-6}\\ \text{g} = 7.0\times 10^{-6}\times 10^{-3}\\ \text{kg} = 7.0\times 10^{-9}\\ \text{kg}.
Dados para o cálculo: h = 6.626\times 10^{-34}, m_b = 7.0\times 10^{-9} kg, \lambda_b = 1.9\times 10^{-8} m.
Aplicando \;v=\dfrac{h}{m\lambda}\;:
v_b = \frac{6.626\times 10^{-34}}{(7.0\times 10^{-9})\,(1.9\times 10^{-8})}.
Produto no denominador:
(7.0\times 10^{-9})\,(1.9\times 10^{-8}) = (7.0\cdot 1.9)\times 10^{-9-8} = 13.3\times 10^{-17} = 1.33\times 10^{-16}.
Divisão:
v_b = \frac{6.626\times 10^{-34}}{1.33\times 10^{-16}} = \left(\frac{6.626}{1.33}\right)\times 10^{-34-(-16)} = \left(\frac{6.626}{1.33}\right)\times 10^{-18}.
O quociente numérico \frac{6.626}{1.33}\approx 4{.}99.
Assim:
v_b \approx 4{.}99\times 10^{-18}.
(Isto é um número absurdamente pequeno, mostrando que objetos macroscópicos têm velocidades de de Broglie praticamente nulas.)

Passo 5

Qual deveria ser o comprimento de onda do objeto pequeno para que sua velocidade fosse igual à da partícula subatômica?
Queremos \;v_b' = v_a\; mas com massa do objeto pequeno m_b. Usamos a fórmula \lambda = \dfrac{h}{m v} e aplicamos com a velocidade desejada v_a:
\lambda_b' = \frac{h}{m_b\,v_a}.
Uma forma mais elegante (evita reusar h em contas) é notar que v_a = \dfrac{h}{m_a\lambda_a}. Substituindo em \lambda_b' = \dfrac{h}{m_b v_a} obtemos:
\lambda_b' = \frac{h}{m_b}\cdot\frac{m_a\lambda_a}{h} = \frac{m_a\,\lambda_a}{m_b}.
Ou seja, a constante h cancela — muito útil na prova.
Agora uso os números (já converti m_b para kg no Passo 4):
  • m_a = 9.355\times 10^{-28} kg
  • \lambda_a = 3.0\times 10^{-9} m
  • m_b = 7.0\times 10^{-9} kg
Calculo:
\lambda_b' = \frac{(9.355\times 10^{-28})\,(3.0\times 10^{-9})}{7.0\times 10^{-9}}.
Já calculamos o numerador no Passo 3: (9.355\times 10^{-28})(3.0\times 10^{-9}) = 2.8065\times 10^{-36}.
Então:
\lambda_b' = \frac{2.8065\times 10^{-36}}{7.0\times 10^{-9}} = \left(\frac{2.8065}{7.0}\right)\times 10^{-36-(-9)} = 0{.}4009286\times 10^{-27}.
Reescrevendo em notação científica:
\lambda_b' \approx 4{.}01\times 10^{-28}.
Isso mostra que, para o objeto pequeno ter a mesma velocidade da partícula subatômica, seu comprimento de onda teria que ser extraordinarimente pequeno ( \sim 10^{-28} m), algo fisicamente impossível de medir com meios usuais — e ilustra por que efeitos quânticos são irrelevantes para objetos macroscópicos.

Resposta

2.36\times 10^{2}
4.99\times 10^{-18}
4.01\times 10^{-28}

Exercícios relacionados