Suponha que os pesos de 2.500 estudantes da UFPEL sejam normalmente distribuídos com média de 60,5 kg(mu) e desvio padrão de 12 kg(sigma)[X sim(mu, sigma)].Que valores espera-se encontrar para a média da distribuição amostral das médias (mubarx) e o desvio padrão da distribuição amostral das médias ( sigmabarchi ), na hipótese de se utilizar amostras de tamanho n=36? Verificar essa questão para os casos de amostragem feita com e sem reposição.

Passo 1

Beleza, o exercício diz que o peso de 2.500 estudantes segue uma Normal com média kg e desvio padrão kg. A ideia é achar como fica a distribuição da média amostral quando eu tiro amostras de tamanho . Isso entra na parte de “Distribuição Amostral da Média” e usa a ideia de Teorema Central do Limite e, no caso de sem reposição, também a Correção para População Finita. A gente vai precisar das fórmulas:
  • Para qualquer amostra, .
  • Com reposição (ou população infinita), .
  • Sem reposição, ajusta com .

Passo 2

Primeiro, amostragem com reposição (ou assumindo população infinita).
  1. Teorema Central do Limite diz que a média das amostras segue aproximadamente Normal com média igual à média da população. mubar X = mu = 60,5
  2. O desvio padrão da média amostral, chamado erro padrão, cai conforme sigmabar X = sigmaraizn = 12raiz36 = 126 = 2 cresce:

Passo 3

Agora, amostragem sem reposição. Como não devolvemos o estudante ao “pool” depois de medir, o erro padrão diminui um tiquinho a mais pela Correção para População Finita (CPF).
  1. A fórmula vira sigmabar X,sem rep = sigmaraizn times raizN - n,N - 1,
  2. Substituindo raiz2500 - 362500 - 1 = raiz24642499 approx 0,9928 e sigmabar X,sem rep = 2 times 0,9928 approx 1,9856 :
  3. Então

Resposta

  • Com reposição:
    , .
  • Sem reposição:
    , .

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