Suponha que os pesos de 2.500 estudantes da UFPEL sejam normalmente distribuídos com média de
e desvio padrão de
.Que valores espera-se encontrar para a média da distribuição amostral das médias
e o desvio padrão da distribuição amostral das médias (
), na hipótese de se utilizar amostras de tamanho n=36? Verificar essa questão para os casos de amostragem feita com e sem reposição.
Passo 1
Beleza, o exercício diz que o peso de 2.500 estudantes segue uma Normal com média
kg e desvio padrão
kg. A ideia é achar como fica a distribuição da média amostral quando eu tiro amostras de tamanho
. Isso entra na parte de “Distribuição Amostral da Média” e usa a ideia de Teorema Central do Limite e, no caso de sem reposição, também a Correção para População Finita. A gente vai precisar das fórmulas:
- Para qualquer amostra,
. - Com reposição (ou população infinita),
. - Sem reposição, ajusta com
.
Passo 2
Primeiro, amostragem com reposição (ou assumindo população infinita).
- Teorema Central do Limite diz que a média das amostras segue aproximadamente Normal com média igual à média da população.
- O desvio padrão da média amostral, chamado erro padrão, cai conforme
cresce:
Passo 3
Agora, amostragem sem reposição. Como não devolvemos o estudante ao “pool” depois de medir, o erro padrão diminui um tiquinho a mais pela Correção para População Finita (CPF).
- A fórmula vira
- Substituindo
e : - Então
Resposta
- Com reposição:
, . - Sem reposição:
, .