Em uma população, a proporção de pessoas favoráveis a uma determinada lei é de 30 \%. Retiramos uma amostra de 300 pessoas dessa população. Determinar:
P\left(p-Z_{a} \cdot \sigma_{\bar{p}} \leq \hat{p} \leq\left(p+Z_{a} \cdot \sigma_{\bar{p}}\right)=0,95\right..

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tirei estes valores diretamente do texto):
  • Proporção populacional \;p=0,30\;.
  • Tamanho da amostra \;n=300\;.
  • Queremos determinar o valor de \;Z_{a}\; tal que
P\!\left(p - Z_{a}\cdot\sigma_{\hat{p}} \le \hat{p} \le p + Z_{a}\cdot\sigma_{\hat{p}}\right)=0,95.
O que precisamos encontrar explicitamente:
  • o valor de \;Z_{a}\; que garante probabilidade central de 0,95;
  • a variância/desvio padrão da proporção amostral \;\sigma_{\hat{p}}\; e a margem \;Z_{a}\sigma_{\hat{p}}\;;
  • o intervalo numérico em torno de \;p\; correspondente a essa probabilidade.

Passo 2

Por que podemos usar a distribuição normal para \hat{p}?
  • Quando a amostra é grande, a distribuição amostral da proporção \hat{p} é aproximadamente normal (Teorema do Limite Central aplicado a proporções).
  • A média dessa distribuição é \;E[\hat{p}]=p\;.
  • O desvio padrão (erro padrão) é dado por
\sigma_{\hat{p}}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}},
onde:
  • \;p\; é a proporção populacional,
  • \;n\; é o tamanho da amostra.
  • Condições de validade: normalmente exige-se \;np\ge 5\; e \;n(1-p)\ge 5\;. Aqui \;np=300\cdot0,3=90\; e \;n(1-p)=210\;, portanto a aproximação normal é válida.

Passo 3

Colocando a probabilidade em termos da normal padrão:
P\!\left(p - Z_{a}\sigma_{\hat{p}} \le \hat{p} \le p + Z_{a}\sigma_{\hat{p}}\right) = P\!\left(-Z_{a} \le \frac{\hat{p}-p}{\sigma_{\hat{p}}} \le Z_{a}\right).
Queremos que essa probabilidade central seja 0,95. Numérica e geometricamente, isso significa que as duas caudas juntas têm área 0,05, então cada cauda tem área 0,025. Assim
Z_{a}=\Phi^{-1}(1-0,025)=\Phi^{-1}(0,975),
onde \Phi^{-1} é a função quantil da normal padrão.

Passo 4

Valor numérico de \;Z_{a}\;:
  • Consultando uma tabela da normal padrão ou usando calculadora, tem-se
Z_{a}=\Phi^{-1}(0,975)\approx 1,96.
(Esse é o valor clássico usado para intervalo de confiança de 95\%.)

Passo 5

Calcular \;\sigma_{\hat{p}}\; numericamente:
\sigma_{\hat{p}}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}=\sqrt{\frac{0,30\cdot(1-0,30)}{300}}=\sqrt{\frac{0,30\cdot0,70}{300}}=\sqrt{\frac{0,21}{300}}=\sqrt{0,0007}\approx 0,02646.

Passo 6

Calcular a margem de erro \;Z_{a}\sigma_{\hat{p}}\;:
Z_{a}\sigma_{\hat{p}}\approx 1,96\cdot0,02646\approx 0,05185.

Passo 7

Calcular o intervalo simétrico em torno de p:
p \pm Z_{a}\sigma_{\hat{p}} \approx 0,30 \pm 0,05185,
ou seja
\text{intervalo} \approx [0,30-0,05185,\;0,30+0,05185]=[0,24815,\;0,35185].
Interpretação: a probabilidade de que \hat{p} caia dentro desse intervalo é 0,95 por construção.

Resposta

Z_{a}\approx 1,96
\sigma_{\hat{p}}\approx 0,02646
Margem Z_{a}\sigma_{\hat{p}}\approx 0,05185
Intervalo \;[0,24815,\;0,35185]

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