Em uma população, a proporção de pessoas favoráveis a uma determinada lei é de
. Retiramos uma amostra de 300 pessoas dessa população. Determinar:
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tirei estes valores diretamente do texto):
- Proporção populacional
. - Tamanho da amostra
. - Queremos determinar o valor de
tal que
O que precisamos encontrar explicitamente:
- o valor de
que garante probabilidade central de ; - a variância/desvio padrão da proporção amostral
e a margem ; - o intervalo numérico em torno de
correspondente a essa probabilidade.
Passo 2
Por que podemos usar a distribuição normal para
?
- Quando a amostra é grande, a distribuição amostral da proporção
é aproximadamente normal (Teorema do Limite Central aplicado a proporções). - A média dessa distribuição é
. - O desvio padrão (erro padrão) é dado por
onde:
-
é a proporção populacional, -
é o tamanho da amostra. - Condições de validade: normalmente exige-se
e . Aqui e , portanto a aproximação normal é válida.
Passo 3
Colocando a probabilidade em termos da normal padrão:
Queremos que essa probabilidade central seja
. Numérica e geometricamente, isso significa que as duas caudas juntas têm área
, então cada cauda tem área
. Assim
onde
é a função quantil da normal padrão.
Passo 4
Valor numérico de
:
- Consultando uma tabela da normal padrão ou usando calculadora, tem-se
(Esse é o valor clássico usado para intervalo de confiança de
.)
Passo 5
Calcular
numericamente:
Passo 6
Calcular a margem de erro
:
Passo 7
Calcular o intervalo simétrico em torno de
:
ou seja
Interpretação: a probabilidade de que
caia dentro desse intervalo é
por construção.
Resposta
Margem
Intervalo