Suponha que em uma população de 10 sementes, vamos observar quantas sementes germinam. Faremos isso tomando amostras de tamanho
. Queremos identificar a distribuição da proporção amostral nesse experimento, ou seja, identificar a probabilidade de cada possível resultado de
.
(a) Calcule a distribuição de
para
.
(b) Calcule a distribuição de
para
.
(c) Calcule a distribuição de
para
.
(a) Calcule a distribuição de
(b) Calcule a distribuição de
(c) Calcule a distribuição de
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: temos uma população de
sementes; cada semente é ou “germinadora” (sucesso) ou “não germinadora” (falha). Tomamos uma amostra aleatória simples de tamanho
(sem reposição) e calculamos a proporção amostral
de sementes que germinam na amostra. O exercício pede a distribuição de
nos casos
,
e
.
Informações relevantes que temos e notação que vou usar:
Seja
o número de sementes germinadoras na população inteira (logo
). A distribuição da amostra depende de
; portanto vou expressar as probabilidades em função de
. Seja
o número de sementes que germinam na amostra; então
Passo 2
Contagem e fórmula básica (explicação didática): para obter exatamente
sementes germinadoras na amostra de tamanho
precisamos escolher
das
germinadoras e escolher os
restantes entre as
não germinadoras. O número de amostras com exatamente
germinadoras é
O número total de amostras possíveis de tamanho
é
Portanto, para
compatível (
e
e
), a probabilidade de
é
Como
, cada possível valor de
é
restrito pelos
possíveis. A fórmula acima é a base para os itens (a), (b) e (c). Vou agora aplicar e simplificar para cada
.
Passo 3
Caso
. Possíveis valores de
(e de
) são
e
, logo
.
Aplicando a fórmula:
Interpretação intuitiva: ao tirar uma semente ao acaso, a probabilidade de ser não germinadora é
e de ser germinadora é
. Como
quando
, essas são as probabilidades da proporção amostral.
Passo 4
Caso
. Possíveis valores de
são
, então
. O total de amostras é
Aplicando a fórmula para cada
:
k = 0:
k = 1:
k = 2:
Observação: se
ou
alguma combinação vira zero, e a probabilidade correspondente é zero — a fórmula já trata isso via
.
Passo 5
Caso
. Possíveis valores de
são
, então
. O total de amostras é
Aplicando a fórmula e simplificando:
k = 0:
k = 1:
k = 2:
k = 3:
Lembrete prático: essas fórmulas são válidas para
inteiro entre
e
; quando um termo de combinação pede
com
ou
, esse termo é zero e a probabilidade é zero.
Passo 6
Resumo rápido de como usar isso na prova: identifique
(número de sucessos na população). Escreva
= número de sucessos na amostra e use
Depois converta para
. Para
use as fórmulas simplificadas dadas acima — elas são fáceis de calcular sem calculadora porque envolvem produtos pequenos e divisões por
já informadas.
Resposta
(a)
(b)
(c)