Suponha que em uma população de 10 sementes, vamos observar quantas sementes germinam. Faremos isso tomando amostras de tamanho n. Queremos identificar a distribuição da proporção amostral nesse experimento, ou seja, identificar a probabilidade de cada possível resultado de \hat{p}.
(a) Calcule a distribuição de \hat{p} para n=1.
(b) Calcule a distribuição de \hat{p} para n=2.
(c) Calcule a distribuição de \hat{p} para n=3.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: temos uma população de 10 sementes; cada semente é ou “germinadora” (sucesso) ou “não germinadora” (falha). Tomamos uma amostra aleatória simples de tamanho n (sem reposição) e calculamos a proporção amostral \hat{p} de sementes que germinam na amostra. O exercício pede a distribuição de \hat{p} nos casos n=1, n=2 e n=3.
Informações relevantes que temos e notação que vou usar:
N=10
Seja M o número de sementes germinadoras na população inteira (logo M\in\{0,1,\dots,10\}). A distribuição da amostra depende de M; portanto vou expressar as probabilidades em função de M. Seja X o número de sementes que germinam na amostra; então
\hat{p}=\frac{X}{n}.

Passo 2

Contagem e fórmula básica (explicação didática): para obter exatamente k sementes germinadoras na amostra de tamanho n precisamos escolher k das M germinadoras e escolher os n-k restantes entre as 10-M não germinadoras. O número de amostras com exatamente k germinadoras é
\binom{M}{k}\,\binom{10-M}{\,n-k\,}.
O número total de amostras possíveis de tamanho n é
\binom{10}{n}.
Portanto, para k compatível ( 0\le k\le n e k\le M e n-k\le 10-M), a probabilidade de X=k é
\mathbb{P}(X=k)=\frac{\binom{M}{k}\,\binom{10-M}{\,n-k\,}}{\binom{10}{n}}.
Como \hat{p}=X/n, cada possível valor de \hat{p} é \{0,\tfrac{1}{n},\tfrac{2}{n},\dots,1\} restrito pelos k possíveis. A fórmula acima é a base para os itens (a), (b) e (c). Vou agora aplicar e simplificar para cada n.

Passo 3

Caso n=1. Possíveis valores de X (e de \hat{p}) são 0 e 1, logo \hat{p}\in\{0,1\}.
Aplicando a fórmula:
\mathbb{P}(X=0)=\frac{\binom{10-M}{1}}{\binom{10}{1}}=\frac{10-M}{10},
\mathbb{P}(X=1)=\frac{\binom{M}{1}}{\binom{10}{1}}=\frac{M}{10}.
Interpretação intuitiva: ao tirar uma semente ao acaso, a probabilidade de ser não germinadora é (10-M)/10 e de ser germinadora é M/10. Como \hat{p}=X quando n=1, essas são as probabilidades da proporção amostral.

Passo 4

Caso n=2. Possíveis valores de X são 0,1,2, então \hat{p}\in\{0,\tfrac{1}{2},1\}. O total de amostras é
\binom{10}{2}=45.
Aplicando a fórmula para cada k:
k = 0:
\mathbb{P}(X=0)=\frac{\binom{10-M}{2}}{\binom{10}{2}} =\frac{\dfrac{(10-M)(9-M)}{2}}{45} =\frac{(10-M)(9-M)}{90}.
k = 1:
\mathbb{P}(X=1)=\frac{\binom{M}{1}\binom{10-M}{1}}{\binom{10}{2}} =\frac{M(10-M)}{45}.
k = 2:
\mathbb{P}(X=2)=\frac{\binom{M}{2}}{\binom{10}{2}} =\frac{\dfrac{M(M-1)}{2}}{45} =\frac{M(M-1)}{90}.
Observação: se M<k ou 10-M<n-k alguma combinação vira zero, e a probabilidade correspondente é zero — a fórmula já trata isso via \binom{\cdot}{\cdot}.

Passo 5

Caso n=3. Possíveis valores de X são 0,1,2,3, então \hat{p}\in\{0,\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3},1\}. O total de amostras é
\binom{10}{3}=120.
Aplicando a fórmula e simplificando:
k = 0:
\mathbb{P}(X=0)=\frac{\binom{10-M}{3}}{\binom{10}{3}} =\frac{\dfrac{(10-M)(9-M)(8-M)}{6}}{120} =\frac{(10-M)(9-M)(8-M)}{720}.
k = 1:
\mathbb{P}(X=1)=\frac{\binom{M}{1}\binom{10-M}{2}}{\binom{10}{3}} =\frac{M\cdot\dfrac{(10-M)(9-M)}{2}}{120} =\frac{M(10-M)(9-M)}{240}.
k = 2:
\mathbb{P}(X=2)=\frac{\binom{M}{2}\binom{10-M}{1}}{\binom{10}{3}} =\frac{\dfrac{M(M-1)}{2}\cdot(10-M)}{120} =\frac{M(M-1)(10-M)}{240}.
k = 3:
\mathbb{P}(X=3)=\frac{\binom{M}{3}}{\binom{10}{3}} =\frac{\dfrac{M(M-1)(M-2)}{6}}{120} =\frac{M(M-1)(M-2)}{720}.
Lembrete prático: essas fórmulas são válidas para M inteiro entre 0 e 10; quando um termo de combinação pede \binom{a}{b} com b>a ou b<0, esse termo é zero e a probabilidade é zero.

Passo 6

Resumo rápido de como usar isso na prova: identifique M (número de sucessos na população). Escreva X = número de sucessos na amostra e use
\mathbb{P}(X=k)=\frac{\binom{M}{k}\binom{10-M}{n-k}}{\binom{10}{n}}.
Depois converta para \hat{p}=k/n. Para n=1,2,3 use as fórmulas simplificadas dadas acima — elas são fáceis de calcular sem calculadora porque envolvem produtos pequenos e divisões por 2,6,45,120 já informadas.

Resposta

(a) n=1:\quad \mathbb{P}(\hat{p}=0)=\dfrac{10-M}{10},\quad \mathbb{P}(\hat{p}=1)=\dfrac{M}{10}.
(b) n=2:\quad \mathbb{P}(\hat{p}=0)=\dfrac{(10-M)(9-M)}{90},\quad \mathbb{P}(\hat{p}=\tfrac{1}{2})=\dfrac{M(10-M)}{45},\quad \mathbb{P}(\hat{p}=1)=\dfrac{M(M-1)}{90}.
(c) n=3:\quad \mathbb{P}(\hat{p}=0)=\dfrac{(10-M)(9-M)(8-M)}{720},\quad \mathbb{P}(\hat{p}=\tfrac{1}{3})=\dfrac{M(10-M)(9-M)}{240},\quad \mathbb{P}(\hat{p}=\tfrac{2}{3})=\dfrac{M(M-1)(10-M)}{240},\quad \mathbb{P}(\hat{p}=1)=\dfrac{M(M-1)(M-2)}{720}.

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