Um procedimento de controle de qualidade foi planejado para garantir um máximo de 10 \% de itens defeituosos na produção. A cada 6 horas, sorteia-se uma amostra de 30 peças e, havendo mais de 15 \% de defeituosas, encerra-se a produção para verificação do processo. Qual a probabilidade de uma parada desnecessária?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
  • Dado: a proporção verdadeira de peças defeituosas é, no plano de controle, de no máximo 10\%. Vamos assumir que, no cenário de interesse (parada desnecessária), a taxa real é exatamente 10\%.
  • Dado: a cada 6 horas sorteia-se uma amostra de 30 peças (ou seja, n=30).
  • Regra de parada: se a amostra apresentar mais de 15\% de defeituosas, encerra-se a produção para verificação.
  • Pergunta: qual a probabilidade de uma parada desnecessária — isto é, a probabilidade de que a amostra acione a parada quando a taxa real é 10\%?

Passo 2

Modelagem do problema (explicando a ferramenta que vamos usar, passo a passo e sem pressa).
  • Pense em cada peça da amostra como um ensaio que pode ser “defeituosa” (sucesso no nosso cálculo) ou “não defeituosa” (falha no nosso cálculo). Se a taxa verdadeira é 10\%, então a probabilidade de cada peça ser defeituosa é p=0,1.
  • Se assumimos que as peças da amostra são (aproximadamente) independentes e identicamente distribuídas quanto à defeituosidade, o número X de peças defeituosas na amostra de n=30 segue uma distribuição binomial com parâmetros n e p. Escrevemos:
X \sim \mathrm{Bin}\bigl(n=30,\;p=0,1\bigr).
  • A distribuição binomial serve exatamente para contar o número de “sucessos” em n ensaios independentes com probabilidade p de sucesso em cada um. A fórmula de probabilidade é (vou explicar o que cada termo significa):
P(X=k)=\binom{30}{k}\,(0,1)^{k}\,(0,9)^{30-k}.
Aqui \binom{30}{k} conta de quantas maneiras podemos escolher quais k peças, (0,1)^k é a probabilidade de k peças serem defeituosas e (0,9)^{30-k} é a probabilidade das restantes não serem defeituosas.

Passo 3

Traduzir a regra de parada para um evento em X.
  • A regra diz “mais de 15\% de defeituosas” na amostra. 15\% de 30 peças é 0,15\cdot 30 = 4,5.
  • "Mais de 4,5" peças significa, na prática, "pelo menos 5" peças defeituosas. Ou seja, a parada acontece quando X\ge 5.
  • Portanto a probabilidade de parada desnecessária (quando p=0,1) é
P(\text{parada desnecessária}) = P(X\ge 5).á

Passo 4

Transformar P(X\ge 5) numa soma que possamos calcular.
  • É mais fácil calcular o complementar P(X\le 4) e fazer 1-P(X\le4). Logo:
P(X\ge 5)=1-P(X\le 4)=1-\sum_{k=0}^{4} P(X=k).
  • Usando a fórmula binomial:
P(X\ge 5)=1-\sum_{k=0}^{4} \binom{30}{k}\,(0,1)^{k}\,(0,9)^{30-k}.

Passo 5

Calcular cada termo \;P(X=k) para k=0,1,2,3,4 (mostrando como calcular, com valores das combinações):
  • Valores das combinações usados:
\binom{30}{0}=1,\quad \binom{30}{1}=30,\quad \binom{30}{2}=435,\quad \binom{30}{3}=4060,\quad \binom{30}{4}=27405.
  • Primeiro calculemos (0,9)^{30} para facilitar as potências:
(0,9)^{30}\approx 0,042391158.
A partir daí (0,9)^{29}=(0,9)^{30}/0,9, (0,9)^{28}=(0,9)^{30}/0,9^{2}, etc.
Agora cada probabilidade:
P(X=0)=\binom{30}{0}(0,1)^{0}(0,9)^{30}=(0,9)^{30}\approx 0,042391158.
P(X=1)=\binom{30}{1}(0,1)^{1}(0,9)^{29}=30\cdot 0,1\cdot (0,9)^{29} =3\cdot (0,9)^{29}\approx 0,141303861.
P(X=2)=\binom{30}{2}(0,1)^{2}(0,9)^{28}=435\cdot 0,01\cdot (0,9)^{28} \approx 0,227589612.
P(X=3)=\binom{30}{3}(0,1)^{3}(0,9)^{27}=4060\cdot 0,001\cdot (0,9)^{27} \approx 0,236181260.
P(X=4)=\binom{30}{4}(0,1)^{4}(0,9)^{26}=27405\cdot 0,0001\cdot (0,9)^{26} \approx 0,177078144.
(Se quiser calcular essas potências e produtos manualmente na prova, proceda exatamente como acima: calcule uma potência base e use divisões sucessivas por 0,9 para obter as potências menores, depois multiplique pelos coeficientes combinatoriais e pelas potências de 0,1.)

Passo 6

Somar os termos e obter a probabilidade desejada.
  • Soma dos primeiros cinco termos:
\sum_{k=0}^{4} P(X=k)\approx 0,042391158+0,141303861+0,227589612+0,236181260+0,177078144\approx 0,824544035.
  • Portanto
P(X\ge 5)=1-0,824544035\approx 0,175455965.
Arredondando de forma prática, a probabilidade de parada desnecessária é aproximadamente 0,1755, ou seja cerca de 17,55\%.

Passo 7

Interpretação curta e incentivo (pra clarear o que isso significa):
  • Isso quer dizer que, mesmo com a taxa real de defeituosos dentro do desejado ( 10\%), em cada amostragem de 30 peças existe cerca de 17,55\% de chance de a regra apontar erroneamente que há problema e mandar parar a produção. É um valor não desprezível — aproximadamente uma parada a cada 1/0,1755\approx 5,7 amostragens.
  • Boa notícia: você já sabe como montar o cálculo exato. Dá pra adaptar a amostra ou o limiar se quiser reduzir essas paradas desnecessárias.

Resposta

\approx 0,1755
17,55\%

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