Um procedimento de controle de qualidade foi planejado para garantir um máximo de
de itens defeituosos na produção. A cada 6 horas, sorteia-se uma amostra de 30 peças e, havendo mais de
de defeituosas, encerra-se a produção para verificação do processo. Qual a probabilidade de uma parada desnecessária?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
- Dado: a proporção verdadeira de peças defeituosas é, no plano de controle, de no máximo
. Vamos assumir que, no cenário de interesse (parada desnecessária), a taxa real é exatamente . - Dado: a cada
horas sorteia-se uma amostra de peças (ou seja, ). - Regra de parada: se a amostra apresentar mais de
de defeituosas, encerra-se a produção para verificação. - Pergunta: qual a probabilidade de uma parada desnecessária — isto é, a probabilidade de que a amostra acione a parada quando a taxa real é
?
Passo 2
Modelagem do problema (explicando a ferramenta que vamos usar, passo a passo e sem pressa).
- Pense em cada peça da amostra como um ensaio que pode ser “defeituosa” (sucesso no nosso cálculo) ou “não defeituosa” (falha no nosso cálculo). Se a taxa verdadeira é
, então a probabilidade de cada peça ser defeituosa é . - Se assumimos que as peças da amostra são (aproximadamente) independentes e identicamente distribuídas quanto à defeituosidade, o número
de peças defeituosas na amostra de segue uma distribuição binomial com parâmetros e . Escrevemos:
- A distribuição binomial serve exatamente para contar o número de “sucessos” em
ensaios independentes com probabilidade de sucesso em cada um. A fórmula de probabilidade é (vou explicar o que cada termo significa):
Aqui
conta de quantas maneiras podemos escolher quais
peças,
é a probabilidade de
peças serem defeituosas e
é a probabilidade das restantes não serem defeituosas.
Passo 3
Traduzir a regra de parada para um evento em
.
- A regra diz “mais de
de defeituosas” na amostra. de peças é . - "Mais de
" peças significa, na prática, "pelo menos " peças defeituosas. Ou seja, a parada acontece quando . - Portanto a probabilidade de parada desnecessária (quando
) é
Passo 4
Transformar
numa soma que possamos calcular.
- É mais fácil calcular o complementar
e fazer . Logo:
- Usando a fórmula binomial:
Passo 5
Calcular cada termo
para
(mostrando como calcular, com valores das combinações):
- Valores das combinações usados:
- Primeiro calculemos
para facilitar as potências:
A partir daí
,
, etc.
Agora cada probabilidade:
(Se quiser calcular essas potências e produtos manualmente na prova, proceda exatamente como acima: calcule uma potência base e use divisões sucessivas por
para obter as potências menores, depois multiplique pelos coeficientes combinatoriais e pelas potências de
.)
Passo 6
Somar os termos e obter a probabilidade desejada.
- Soma dos primeiros cinco termos:
- Portanto
Arredondando de forma prática, a probabilidade de parada desnecessária é aproximadamente
, ou seja cerca de
.
Passo 7
Interpretação curta e incentivo (pra clarear o que isso significa):
- Isso quer dizer que, mesmo com a taxa real de defeituosos dentro do desejado (
), em cada amostragem de peças existe cerca de de chance de a regra apontar erroneamente que há problema e mandar parar a produção. É um valor não desprezível — aproximadamente uma parada a cada amostragens. - Boa notícia: você já sabe como montar o cálculo exato. Dá pra adaptar a amostra ou o limiar se quiser reduzir essas paradas desnecessárias.