Suponha que vamos jogar um dado honesto n vezes e anotamos a média dos valores observados nas n jogadas. Por exemplo, se lançamos 2 dados e obtemos 1 e 2 , respectivamente, temos uma média igual a 1,5 .
Queremos identificar a distribuição da média amostral nesse experimento, ou seja, identificar a probabilidade de cada possível resultado de \bar{X}.
(a) Calcule a distribuição de \bar{X} para n=1.
(b) Calcule a distribuição de \bar{X} para n=2.
(c) Calcule a distribuição de \bar{X} para n=3.

Passo 1

O enunciado diz que lançamos um dado honesto (faces 1,2,3,4,5,6, cada uma com probabilidade \frac{1}{6}) de forma independente n vezes e anotamos a média amostral
\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i.
O que pedem:
(a) a distribuição de \bar{X} quando n=1;
(b) a distribuição de \bar{X} quando n=2;
(c) a distribuição de \bar{X} quando n=3.
Informações relevantes dadas:
\;X_1,\dots,X_n são i.i.d. com \mathbb{P}(X_i=k)=\frac{1}{6} para k\in\{1,2,3,4,5,6\}. A média \bar{X} só pode assumir valores da forma \frac{s}{n} onde s é a soma s=\sum_{i=1}^n X_i. A estratégia será achar a distribuição da soma S_n=\sum_{i=1}^n X_i (número de maneiras de obter cada soma) e então transformar para a distribuição de \bar{X}=S_n/n.

Passo 2

Regra geral (fórmula e explicação): como \bar{X}=S_n/n, para qualquer valor m temos
\mathbb{P}(\bar{X}=m)=\mathbb{P}\big(S_n = n m\big),
desde que n m seja inteiro e n\le n m \le 6n. Portanto precisamos contar, para cada soma inteira s possível, quantas escolhas de (x_1,\dots,x_n)\in\{1,\dots,6\}^n dão x_1+\dots+x_n=s. O número total de resultados possíveis é 6^n. Assim a probabilidade será \frac{\text{número de soluções}}{6^n}úçõ.
Vou aplicar essa ideia diretamente para n=1,2,3. Para n=2 podemos usar a conhecida distribuição da soma de dois dados (convolução simples). Para n=3 podemos convoluir a distribuição de dois dados com a do dado único ou contar combinatoriamente; o resultado é simétrico em torno da média.

Passo 3

Caso n=1.
Aqui S_1=X_1 e \bar{X}=X_1. As possibilidades são 1,2,3,4,5,6 e cada face ocorre em exatamente 1 de 6 casos. Logo
\mathbb{P}(\bar{X}=k)=\frac{1}{6}\quad\text{para }k\in\{1,2,3,4,5,6\}.
(Aqui não há soma para contar: é o caso trivial.)

Passo 4

Caso n=2.
Definimos S_2=X_1+X_2. Possíveis valores de S_2 são 2,3,\dots,12. A contagem clássica (convolução) dá os números de maneiras:
\begin{array}{c|ccccccccccc} s & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12\\hline \#\text{jeitos} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \end{array}
Explicação rápida dessa sequência: para s\in\{2,\dots,7\} s-1 pares (x_1,x_2) com soma s; para s\in\{7,\dots,12\} a contagem decresce simetricamente como 13-s.
Como \bar{X}=S_2/2, os valores possíveis de \bar{X} são \frac{s}{2} com s=2,\dots,12, i.e. 1,\tfrac{3}{2},2,\tfrac{5}{2},3,\tfrac{7}{2},4,\tfrac{9}{2},5,\tfrac{11}{2},6. Cada probabilidade é \frac{\#\text{jeitos}}{36} porque 6^2=36. Assim, por exemplo,
\mathbb{P}\big(\bar{X}=1\big)=\frac{1}{36},\quad \mathbb{P}\big(\bar{X}=\tfrac{3}{2}\big)=\frac{2}{36},\\ \ldots,\\ \mathbb{P}\big(\bar{X}=6\big)=\frac{1}{36},
seguindo a sequência de contagens acima.

Passo 5

Caso n=3.
Definimos S_3=X_1+X_2+X_3. Possíveis valores de S_3 são 3,4,\dots,18. Podemos obter os números de maneiras convoluindo a distribuição de S_2 com a do dado X_3, i.e.
\#\text{jeitos para }S_3=s=\sum_{k=1}^{6}\#\text{jeitos para }S_2=s-k,
onde consideramos \#\text{jeitos para }S_2=t=0 se t está fora de \{2,\dots,12\}. Fazendo essa soma (ou lembrando a tabela clássica) obtemos a sequência simétrica abaixo (soma das três faces que dá aquele total):
\begin{array}{c|cccccccccccccccc} s & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18\\hline \#\text{jeitos} & 1 & 3 & 6 & 10 & 15 & 21 & 25 & 27 & 27 & 25 & 21 & 15 & 10 & 6 & 3 & 1 \end{array}
Verificação rápida: a soma dessas contagens é 6^3=216.
Como \bar{X}=S_3/3, os valores possíveis de \bar{X} são \frac{s}{3} para s=3,\dots,18, i.e.
1,\\ \tfrac{4}{3},\\ \tfrac{5}{3},\\\ 2,\\ \tfrac{7}{3},\\ \tfrac{8}{3},\\\ 3,\\ \tfrac{10}{3},\\ \tfrac{11}{3},\\\ 4,\\ \tfrac{13}{3},\\ \tfrac{14}{3},\\\ 5,\\ \tfrac{16}{3},\\ \tfrac{17}{3},\\\ 6,
com probabilidades iguais a \frac{\#\text{jeitos}}{216} conforme a tabela de contagens acima.

Passo 6

Breve checagem de consistência: em cada caso a soma das probabilidades é 1, pois somar as contagens e dividir por 6^n retorna 1. Assim as distribuições estão completas.

Resposta

\mathbb{P}(\bar{X}=k)=\dfrac{1}{6} para k\in\{1,2,3,4,5,6\}.\n
\mathbb{P}\big(\bar{X}=\tfrac{s}{2}\big)=\dfrac{c_2(s)}{36} para s=2,\dots,12, onde c_2(s)=1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1 (isto é,
\mathbb{P}(\bar{X}=1)=\tfrac{1}{36},\\ \mathbb{P}(\bar{X}=\tfrac{3}{2})=\tfrac{2}{36},\\ \mathbb{P}(\bar{X}=2)=\tfrac{3}{36},\\ \mathbb{P}(\bar{X}=\tfrac{5}{2})=\tfrac{4}{36},\\ \mathbb{P}(\bar{X}=3)=\tfrac{5}{36},\\ \mathbb{P}(\bar{X}=\tfrac{7}{2})=\tfrac{6}{36},\\ \ldots,\\ \mathbb{P}(\bar{X}=6)=\tfrac{1}{36}.)\n
\mathbb{P}\big(\bar{X}=\tfrac{s}{3}\big)=\dfrac{c_3(s)}{216} para s=3,\dots,18, onde c_3(s)=1,3,6,10,15,21,25,27,27,25,21,15,10,6,3,1 (isto é, \mathbb{P}(\bar{X}=1)=\tfrac{1}{216},\\ \mathbb{P}(\bar{X}=\tfrac{4}{3})=\tfrac{3}{216},\\ \mathbb{P}(\bar{X}=\tfrac{5}{3})=\tfrac{6}{216},\\ \ldots,\\ \mathbb{P}(\bar{X}=6)=\tfrac{1}{216}.)

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