Suponha que vamos jogar um dado honesto
vezes e anotamos a média dos valores observados nas
jogadas. Por exemplo, se lançamos 2 dados e obtemos 1 e 2 , respectivamente, temos uma média igual a 1,5 .
Queremos identificar a distribuição da média amostral nesse experimento, ou seja, identificar a probabilidade de cada possível resultado de
.
(a) Calcule a distribuição de
para
.
(b) Calcule a distribuição de
para
.
(c) Calcule a distribuição de
para
.
Queremos identificar a distribuição da média amostral nesse experimento, ou seja, identificar a probabilidade de cada possível resultado de
(a) Calcule a distribuição de
(b) Calcule a distribuição de
(c) Calcule a distribuição de
Passo 1
O enunciado diz que lançamos um dado honesto (faces
, cada uma com probabilidade
) de forma independente
vezes e anotamos a média amostral
O que pedem:
(a) a distribuição de quando
;
(b) a distribuição de quando
;
(c) a distribuição de quando
.
(a) a distribuição de
(b) a distribuição de
(c) a distribuição de
Informações relevantes dadas:
são i.i.d. com
para
. A média
só pode assumir valores da forma
onde
é a soma
. A estratégia será achar a distribuição da soma
(número de maneiras de obter cada soma) e então transformar para a distribuição de
.
Passo 2
Regra geral (fórmula e explicação): como
, para qualquer valor
temos
desde que
seja inteiro e
. Portanto precisamos contar, para cada soma inteira
possível, quantas escolhas de
dão
. O número total de resultados possíveis é
. Assim a probabilidade será
.
Vou aplicar essa ideia diretamente para
. Para
podemos usar a conhecida distribuição da soma de dois dados (convolução simples). Para
podemos convoluir a distribuição de dois dados com a do dado único ou contar combinatoriamente; o resultado é simétrico em torno da média.
Passo 3
Caso
.
Aqui
e
. As possibilidades são
e cada face ocorre em exatamente
de
casos. Logo
(Aqui não há soma para contar: é o caso trivial.)
Passo 4
Caso
.
Definimos
. Possíveis valores de
são
. A contagem clássica (convolução) dá os números de maneiras:
Explicação rápida dessa sequência: para
há
pares
com soma
; para
a contagem decresce simetricamente como
.
Como
, os valores possíveis de
são
com
, i.e.
. Cada probabilidade é
porque
. Assim, por exemplo,
seguindo a sequência de contagens acima.
Passo 5
Caso
.
Definimos
. Possíveis valores de
são
. Podemos obter os números de maneiras convoluindo a distribuição de
com a do dado
, i.e.
onde consideramos
se
está fora de
. Fazendo essa soma (ou lembrando a tabela clássica) obtemos a sequência simétrica abaixo (soma das três faces que dá aquele total):
Verificação rápida: a soma dessas contagens é
.
Como
, os valores possíveis de
são
para
, i.e.
com probabilidades iguais a
conforme a tabela de contagens acima.
Passo 6
Breve checagem de consistência: em cada caso a soma das probabilidades é
, pois somar as contagens e dividir por
retorna
. Assim as distribuições estão completas.