Suponha que a população de uma certa cidade é constituída por 40 \% de homens e 60 \% de mulheres. Suponha ainda que 50 \% dos homens e 30 \% das mulheres são fumantes. Determine a probabilidade de que uma pessoa que fuma seja homem.

Passo 1

O enunciado diz que numa cidade 40 % são homens e 60 % são mulheres; dentre os homens, 50 % fumam, e dentre as mulheres, 30 % fumam. O que queremos é a probabilidade de a pessoa ser homem dado que ela fuma, ou seja, P(\text{homem}\mid\text{fumante}). Para isso vamos usar o Teorema de Bayes e a Lei da Probabilidade Total.

Passo 2

Definimos os eventos:
H: pessoa é homem, então P(H)=0,4.
M: pessoa é mulher, então P(M)=0,6.
S: pessoa é fumante, então P(S\mid H)=0,5 e P(S\mid M)=0,3.

Passo 3

Pela Lei da Probabilidade Total, a probabilidade de alguém ser fumante é
P(S)=P(S\mid H)\,P(H)+P(S\mid M)\,P(M) =0,5\cdot0,4+0,3\cdot0,6=0,2+0,18=0,38.

Passo 4

Aplicando o Teorema de Bayes para obter P(H\mid S):
P(H\mid S) =\frac{P(S\mid H)\,P(H)}{P(S)} =\frac{0,5\cdot0,4}{0,38} =\frac{0,2}{0,38} =\frac{10}{19}\approx0,5263.

Resposta

\displaystyle \frac{10}{19} (aproximadamente 0,5263, ou 52,63\%).

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