Suponha que uma pressão sonora provoque a vibração da membrana do tímpano de uma pessoa e que a velocidade v(t) de um ponto da membrana seja dada por v(t)=2 e^-t sen(t).
a) Determine a integral indefinida da função v(t).
b) Determine a posição s(t) do ponto da membrana supondo que s(0)=0.
c) Determine o comportamento de s(t) após um longo período de tempo, isto é, lim t infty s(t).

Passo 1

O enunciado dá a velocidade de um ponto da membrana como
v(t)=2e^-tsin(t),
pede (a) a integral indefinida de v(t), (b) a posição s(t) sabendo que s(0)=0 e (c) o limite limttoinftys(t).
Conteúdo: integração de funções do tipo e^atsin(bt) e condição inicial para descobrir a constante de integração.

Passo 2

Para calcular
integral 2e^-tsin(t),dt
usamos a fórmula padrão
integral e^atsin(bt),dt=e^ata^2+b^2l(asin(bt)-bcos(bt)r)+C
Aqui a=-1 e b=1, logo
integral e^-tsin(t),dt =e^-t(-1)^2+1^2l(-1cdotsin(t)-1cdotcos(t)r)+C =-tfrac12,e^-tl(sin(t)+cos(t)r)+C
Multiplicando por 2, obtemos
integral 2e^-tsin(t),dt =-e^-tl(sin(t)+cos(t)r)+C

Passo 3

A posição s(t) é a antiderivada de v(t). Logo
s(t)=-e^-tl(sin(t)+cos(t)r)+C
Usando s(0)=0:
s(0)=-e^0(0+1)+C=-1+C=0Longrightarrow C=1
Assim
s(t)=1-e^-tl(sin(t)+cos(t)r)

Passo 4

Para ttoinfty, temos e^-tto0 e sin(t)+cos(t) é limitado. Então
limttoinftys(t) =1-0=1

Resposta

a) integral v(t),dt=-e^-tl(sin(t)+cos(t)r)+C.
b) s(t)=1-e^-tl(sin(t)+cos(t)r).
c) limttoinftys(t)=1.

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