Suponha que a taxa de produção de fotossíntese P seja dada, em função da intensidade de luz I, por P(I)=I /(1+I^2), em que I >= 0.
a) Determine os pontos críticos e os intervalos de crescimento e de decrescimento de P(I).
b) Determine os intervalos onde o gráfico de P(I) é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo.
c) Calcule lim I infty P(I).
d) Esboce o gráfico de P(I).

Passo 1

O enunciado nos dá a taxa de produção de fotossíntese
P(I) = I1 + I^2, I>=0,
e pede (a) pontos críticos e monotonia, (b) concavidade, (c) limite quando Itoinfty e (d) esboço. Para isso vamos usar derivadas primeira e segunda, análise de sinais e cálculo de limite.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira para achar pontos críticos e monotonia.
P'(I) = (1+I^2)cdot1 - Icdot2I(1+I^2)^2 = 1 - I^2(1+I^2)^2
Zeramos o numerador: 1-I^2=0 Rightarrow I=1 (só consideramos I>=0).
– Em 0<I<1, 1-I^2>0 Rightarrow P'(I)>0 (cresce).
– Em I>1, 1-I^2<0 Rightarrow P'(I)<0 (decresce).

Passo 3

Agora a derivada segunda para concavidade. Usando
P'(I) = (1-I^2)(1+I^2)^-2,
obtemos
P''(I) = -2I,(3 - I^2)(1+I^2)^3
Anulamos o numerador: -2I(3-I^2)=0 Rightarrow I=0 ou I^2=3 Rightarrow I=raiz3.
Para I>0:
– Se 0<I<raiz3, então 3-I^2>0 Rightarrow -2I(3-I^2)<0 Rightarrow concavo para baixo.
– Se I>raiz3, então 3-I^2<0 Rightarrow -2I(3-I^2)>0 Rightarrow concavo para cima.

Passo 4

Calculamos o comportamento em infinito:
limItoinfty P(I) = limItoinfty I1+I^2 =0
(é uma assíntota horizontal y=0).

Passo 5

Esboço do gráfico de P(I):
– Em I=0, P(0)=0.
– Cresce, côncavo para baixo, até o máximo em I=1 com P(1)=tfrac12.
– Desce, ainda côncavo para baixo até I=raiz3, muda de concavidade e segue decrescendo, côncavo para cima, aproximando-se de zero quando Itoinfty.

Resposta

a) Ponto crítico em I=1. P cresce em (0,1) e decresce em (1,infty).
b) Côncavo para baixo em (0,raiz3) e côncavo para cima em (raiz3,infty).
c) limItoinftyP(I)=0.
d) Gráfico começa em (0,0), sobe até (1,0.5), inflete em I=raiz3 e decresce suavemente a zero.

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