Suponha que a taxa de produção de fotossíntese
seja dada, em função da intensidade de luz
, por
, em que
.
a) Determine os pontos críticos e os intervalos de crescimento e de decrescimento de
.
b) Determine os intervalos onde o gráfico de
é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo.
c) Calcule
.
d) Esboce o gráfico de
.
a) Determine os pontos críticos e os intervalos de crescimento e de decrescimento de
b) Determine os intervalos onde o gráfico de
c) Calcule
d) Esboce o gráfico de
Passo 1
O enunciado nos dá a taxa de produção de fotossíntese
e pede (a) pontos críticos e monotonia, (b) concavidade, (c) limite quando
e (d) esboço. Para isso vamos usar derivadas primeira e segunda, análise de sinais e cálculo de limite.
Passo 2
Calculamos a derivada primeira para achar pontos críticos e monotonia.
Zeramos o numerador:
(só consideramos
).
– Em ,
(cresce).
– Em ,
(decresce).
– Em
– Em
Passo 3
Agora a derivada segunda para concavidade. Usando
obtemos
Anulamos o numerador:
ou
.
Para :
– Se , então
concavo para baixo.
– Se , então
concavo para cima.
Para
– Se
– Se
Passo 4
Calculamos o comportamento em infinito:
(é uma assíntota horizontal
).
Passo 5
Esboço do gráfico de
:
– Em ,
.
– Cresce, côncavo para baixo, até o máximo em com
.
– Desce, ainda côncavo para baixo até , muda de concavidade e segue decrescendo, côncavo para cima, aproximando-se de zero quando
.
– Em
– Cresce, côncavo para baixo, até o máximo em
– Desce, ainda côncavo para baixo até
Resposta
a) Ponto crítico em
.
cresce em
e decresce em
.
b) Côncavo para baixo em e côncavo para cima em
.
c) .
d) Gráfico começa em , sobe até
, inflete em
e decresce suavemente a zero.
b) Côncavo para baixo em
c)
d) Gráfico começa em