Uma partícula move-se em uma dimensão no potencial
. Determine
pelo método de Hamilton-Jacobi se
e
.
Passo 1
O enunciado trata de uma partícula de massa
que se move em uma dimensão sob o potencial
e pede para determinar
pelo método de Hamilton–Jacobi, sabendo que
O conteúdo que vamos usar inclui a equação de Hamilton–Jacobi
e, em seguida, a relação entre constantes de separação e as condições iniciais para extrair
e inverter para
.
Passo 2
Escrevemos a Hamiltoniana
e a equação de Hamilton–Jacobi
Fazemos o ansatz de separação
onde
será identificado como a energia total.
Passo 3
Substituindo
na HJ obtém-se
Logo
Escolhemos o sinal “
” para que, com a força dada por
, a partícula se afaste de
.
Passo 4
A constante conjugada a
vem de
mas
satisfaz
Tomando
para ajustar a condição inicial
em
, chegamos a
Passo 5
A condição
implica
. Substituindo em
e fatorando, obtemos
Para resolver essa integral, fazemos a mudança
e, após calcular, encontra-se
Passo 6
Agora isolamos
em função de
. Da relação
vem
Portanto,