Uma partícula move-se em uma dimensão no potencial V(x)=k / x^{2}, k>0. Determine x(t) pelo método de Hamilton-Jacobi se x(0)=x_{0} e \dot{x}(0)=0.

Passo 1

O enunciado trata de uma partícula de massa m que se move em uma dimensão sob o potencial
V(x)=\frac{k}{x^2},\quad k>0,
e pede para determinar x(t) pelo método de Hamilton–Jacobi, sabendo que
x(0)=x_{0},\quad \dot x(0)=0.
O conteúdo que vamos usar inclui a equação de Hamilton–Jacobi
\frac{\partial S}{\partial t}+H\!\Bigl(x,\frac{\partial S}{\partial x}\Bigr)=0
e, em seguida, a relação entre constantes de separação e as condições iniciais para extrair t(x) e inverter para x(t).

Passo 2

Escrevemos a Hamiltoniana
H=\frac{p^2}{2m}+\frac{k}{x^2},
e a equação de Hamilton–Jacobi
\frac{\partial S}{\partial t}+\frac{1}{2m}\Bigl(\frac{\partial S}{\partial x}\Bigr)^2+\frac{k}{x^2}=0.
Fazemos o ansatz de separação
S(x,t)=W(x)-E\,t,
onde E será identificado como a energia total.

Passo 3

Substituindo S na HJ obtém-se
\Bigl(\frac{dW}{dx}\Bigr)^2=2m\Bigl(E-\frac{k}{x^2}\Bigr).
Logo
\frac{dW}{dx}=\pm\sqrt{2m\Bigl(E-\frac{k}{x^2}\Bigr)}.
Escolhemos o sinal “ +” para que, com a força dada por -dV/dx>0, a partícula se afaste de x=0.

Passo 4

A constante conjugada a E vem de
\beta=\frac{\partial S}{\partial E}=\frac{\partial W}{\partial E}-t,
mas \partial W/\partial E satisfaz
\frac{\partial W}{\partial E} =\int\frac{\partial}{\partial E}\bigl[\sqrt{2m(E-\tfrac{k}{x^2})}\bigr]\,dx =\int\frac{dx}{\sqrt{\tfrac{2}{m}\bigl(E-\tfrac{k}{x^2}\bigr)}}.
Tomando \beta=0 para ajustar a condição inicial t=0 em x=x_0, chegamos a
t=\sqrt{\frac{m}{2}}\int_{x_0}^{x}\frac{dx'}{\sqrt{E-\tfrac{k}{x'^2}}}.

Passo 5

A condição \dot x(0)=0 implica E=V(x_0)=k/x_0^2. Substituindo em t e fatorando, obtemos
t =\sqrt{\frac{m}{2}}\int_{x_0}^{x}\frac{dx'}{\sqrt{\tfrac{k}{x_0^2}-\tfrac{k}{x'^2}}} =\sqrt{\frac{m}{2k}} \int_{x_0}^{x}\frac{dx'}{\sqrt{\tfrac1{x_0^2}-\tfrac1{x'^2}}}.
Para resolver essa integral, fazemos a mudança y=x_0/x' e, após calcular, encontra-se
t = x_{0}\,\sqrt{\frac{m}{2k}}\;\sqrt{x^2 - x_{0}^{2}}\,.

Passo 6

Agora isolamos x em função de t. Da relação
t = x_{0}\,\sqrt{\frac{m}{2k}}\;\sqrt{x^2 - x_{0}^{2}}
vem
\sqrt{x^2 - x_{0}^{2}} =\frac{t}{x_{0}}\sqrt{\frac{2k}{m}} \quad\Longrightarrow\quad x^2 = x_{0}^{2}+\frac{2k}{m}\,\frac{t^2}{x_{0}^{2}}.
Portanto,
x(t)=\sqrt{x_{0}^{2}+\frac{2k}{m}\,\frac{t^{2}}{x_{0}^{2}}}\,.

Resposta

x(t)=\sqrt{x_{0}^{2}+\frac{2k}{m\,x_{0}^{2}}\,t^{2}}.

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