Suponha que a produção de um funcionário, quando relacionada ao número de horas trabalhadas, seja dada por P(t)=a t^2+b t. Ache as constantes a, b quando sabemos que o funcionário depois de 10 horas de trabalho produz 190 unidades, e a taxa da variação de produção dele no instante t=1 é 3 unidades por hora.

Passo 1

O enunciado dá a função de produção em função do tempo de trabalho t:
P(t)=a,t^2+b,t
Pedem-se as constantes a e b sabendo que
  1. depois de 10 horas de trabalho a produção é 190 unidades, ou seja ,P(10)=190,
  2. a taxa de variação em t=1 é 3 unidades por hora, ou seja ,P'(1)=3.
    Para resolver, usaremos o conceito de derivada para obter P'(t) e montaremos um sistema linear em a e b.

Passo 2

Calculamos a derivada de P(t):
P'(t)=2a,t + b
Aplicando a condição ,P'(1)=3 obtemos
2a + b = 3
E da condição ,P(10)=190 segue
100a + 10b = 190

Passo 3

Resolvendo o sistema
2a + b = 3, 100a + 10b = 190,
podemos simplificar a segunda equação dividindo por 10:
10a + b = 19
Subtraindo a primeira da segunda:
(10a + b) - (2a + b) = 19 - 3 ;Longrightarrow; 8a = 16 ;Longrightarrow; a = 2
Em seguida, de 2a + b = 3 vem
b = 3 - 2a = 3 - 4 = -1

Resposta

a = 2
b = -1

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