Use a derivação logarítmica para achar a derivada da função.
65 y=(tg x)^1 / x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y=(tan x)^1/x
usando a técnica de derivação logarítmica. Vamos precisar usar as propriedades do logaritmo, a regra do produto e a derivada de ln(tan x).

Passo 2

Tomamos o logaritmo natural em ambos os lados para simplificar a potência variável:
ln y = lnl((tan x)^1/xr) = 1x,lnl(tan xr)

Passo 3

Derivamos implicitamente em relação a x. No lado esquerdo,
ddx[ln y] = y'y
No direito, temos um produto entre u(x)=1/x e v(x)=ln(tan x), então
ddx!l(tfrac1xln(tan x)r) = u'(x),v(x) + u(x),v'(x) = l(-tfrac1x^2r)ln(tan x) + tfrac1x,ddx[ln(tan x)]
E como
ddx[ln(tan x)] =sec^2 xtan x,
obtém-se
y'y = -1x^2ln(tan x) + 1x,sec^2 xtan x

Passo 4

Isolando y', multiplicamos ambos os lados por y=(tan x)^1/x:
y' = (tan x)^1/x,l(-1x^2ln(tan x) + 1x,sec^2 xtan xr)

Resposta

y' = (tan x)^1/x,l(-ln(tan x)x^2 +sec^2 xx,tan xr)

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