Determine as equações das retas tangentes ao gráfico de f(x)=x^33-1 que sejam perpendiculares à reta y+x=0.

Passo 1

O enunciado pede as retas tangentes ao gráfico de f(x)=x^33-1 que sejam perpendiculares à reta y+x=0. O conteúdo aqui envolve derivada para achar o coeficiente angular da tangente e a condição de perpendicularidade entre retas.

Passo 2

A reta dada é y+x=0, ou seja, y=-x. Seu coeficiente angular é -1. Duas retas são perpendiculares quando o produto de seus coeficientes angulares vale -1. Assim, se a tangente tiver coeficiente m,
mcdot(-1) = -1
logo
m = 1

Passo 3

Para que a reta tangente a f tenha coeficiente angular 1, igualamos f'(x) a 1. Calculando
f'(x) = l(tfracx^33-1r)' = x^2,
temos
x^2 = 1 Longrightarrow x = pm 1

Passo 4

Calculamos os pontos de tangência:
em x=1: f(1)=tfrac1^33-1=tfrac13-1=-tfrac23,
em x=-1: f(-1)=tfrac(-1)^33-1=-tfrac13-1=-tfrac43

Passo 5

Agora montamos as retas tangentes com coeficiente m=1 em cada ponto (x0,y0):
para (1,-tfrac23):
y - l(-tfrac23r) = 1,(x-1) ;Longrightarrow; y = x - tfrac53,
para l(-1,-tfrac43r):
y - l(-tfrac43r) = 1,(x+1) ;Longrightarrow; y = x - tfrac13

Resposta

y = x - tfrac53
y = x - tfrac13

Exercícios relacionados