Utilizando a regra da cadeia, calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=e^{\cos 2 x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=e^{\cos 2x}.
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia, aplicada a uma composição de três funções: a exponencial, o cosseno e uma função linear.

Passo 2

Vamos decompor f em três camadas:
k(x)=2x,\quad h(t)=\cos t,\quad g(u)=e^u.
Então f(x)=g\bigl(h\bigl(k(x)\bigr)\bigr). Calculamos cada derivada:
\displaystyle k'(x)=2,
\displaystyle h'(t)=-\sin t,
\displaystyle g'(u)=e^u.

Passo 3

Pela regra da cadeia,
f'(x) = g'\bigl(h(k(x))\bigr)\;\cdot\;h'\bigl(k(x)\bigr)\;\cdot\;k'(x).
Substituindo:
g'\bigl(h(k(x))\bigr)=e^{\cos 2x},\quad h'\bigl(k(x)\bigr)=-\sin(2x),\quad k'(x)=2.
Portanto,
f'(x)=e^{\cos 2x}\,\bigl(-\sin(2x)\bigr)\,\cdot2.

Resposta

f'(x)=-2\,e^{\cos 2x}\,\sin(2x).

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