Suponha que a proporção de itens defeituosos em um grande lote seja desconhecida. Uma amostra aleatória de 20 itens é selecionada do lote. Seja
o número de itens defeituosos na amostra e seja
o número de itens não defeituosos. Encontre
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede exatamente isso:
- Foi selecionada uma amostra aleatória de
itens do lote. - Seja
o número de itens defeituosos na amostra. - Seja
o número de itens não defeituosos na amostra. - A proporção de itens defeituosos no lote é desconhecida (vou chamar essa proporção de
quando for útil).
O que o enunciado pede: calcular.
Passo 2
Primeiro vamos identificar a relação aritmética entre
e
. Na amostra de
itens, cada item é ou defeituoso ou não defeituoso, então o total se distribui entre
e
. Logo:
Isso vem diretamente do fato de que o número de não defeituosos mais o número de defeituosos é
.
Passo 3
Expressamos
em termos de
só, substituindo
por
:
Agora fazemos a álgebra:
Passo 4
Agora precisamos da esperança de
. Usamos a propriedade da linearidade da esperança. A linearidade diz duas coisas simples e muito úteis:
- Para quaisquer variáveis aleatórias
e , . - Para qualquer constante
e variável aleatória , .
Essas propriedades permitem tratar esperança como uma operação que “distribui” sobre soma e fator constante. (Intuição rápida: esperança é média — a média de uma soma é a soma das médias.)
Passo 5
Aplicando linearidade à expressão
, obtemos:
Então o problema reduz-se a encontrar
.
Passo 6
Vamos analisar
. Cada um dos
itens pode ser visto como uma variável indicadora
que vale
se o
-ésimo item é defeituoso e
caso contrário. Assim:
Se a probabilidade de um item ser defeituoso no lote for
(essa é a proporção desconhecida mencionada no enunciado), então cada
tem esperança
. Usando linearidade da esperança novamente:
Observação: isso corresponde ao caso usual onde a amostra é grande ou retirada com reposição, ou o lote é muito grande, de modo que cada inspeção tem probabilidade
de defeito independentemente das outras; esse é o modelo binomial, cuja esperança é
.
Passo 7
Substituímos
na fórmula do Passo 5:
Fatorando:
Comentário amigo: como o enunciado não deu um valor numérico para
, essa é a forma mais explícita que podemos dar. Se por exemplo
, então
; se
a esperança é negativa, e se
é positiva — isso faz sentido: mais defeituosos que não defeituosos (em média) quando
.