Suponha que a proporção de itens defeituosos em um grande lote seja desconhecida. Uma amostra aleatória de 20 itens é selecionada do lote. Seja X o número de itens defeituosos na amostra e seja Y o número de itens não defeituosos. Encontre \mathrm{E}[X-Y].

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede exatamente isso:
  • Foi selecionada uma amostra aleatória de 20 itens do lote.
  • Seja X o número de itens defeituosos na amostra.
  • Seja Y o número de itens não defeituosos na amostra.
  • A proporção de itens defeituosos no lote é desconhecida (vou chamar essa proporção de p quando for útil).
    O que o enunciado pede: calcular \mathrm{E}[X-Y].

Passo 2

Primeiro vamos identificar a relação aritmética entre X e Y. Na amostra de 20 itens, cada item é ou defeituoso ou não defeituoso, então o total se distribui entre X e Y. Logo:
Y = 20 - X.
Isso vem diretamente do fato de que o número de não defeituosos mais o número de defeituosos é 20.

Passo 3

Expressamos X-Y em termos de X só, substituindo Y por 20-X:
X - Y = X - (20 - X).
Agora fazemos a álgebra:
X - Y = X - 20 + X = 2X - 20.

Passo 4

Agora precisamos da esperança de X-Y. Usamos a propriedade da linearidade da esperança. A linearidade diz duas coisas simples e muito úteis:
  • Para quaisquer variáveis aleatórias U e V, \mathrm{E}[U+V] = \mathrm{E}[U] + \mathrm{E}[V].
  • Para qualquer constante c e variável aleatória U, \mathrm{E}[cU] = c\,\mathrm{E}[U].
    Essas propriedades permitem tratar esperança como uma operação que “distribui” sobre soma e fator constante. (Intuição rápida: esperança é média — a média de uma soma é a soma das médias.)

Passo 5

Aplicando linearidade à expressão \,2X-20, obtemos:
\mathrm{E}[X-Y] = \mathrm{E}[2X - 20] = 2\,\mathrm{E}[X] - 20.
Então o problema reduz-se a encontrar \mathrm{E}[X].

Passo 6

Vamos analisar \mathrm{E}[X]. Cada um dos 20 itens pode ser visto como uma variável indicadora I_i que vale 1 se o i-ésimo item é defeituoso e 0 caso contrário. Assim:
X = \sum_{i=1}^{20} I_i.
Se a probabilidade de um item ser defeituoso no lote for p (essa é a proporção desconhecida mencionada no enunciado), então cada I_i tem esperança \mathrm{E}[I_i]=p. Usando linearidade da esperança novamente:
\mathrm{E}[X] = \sum_{i=1}^{20} \mathrm{E}[I_i] = 20p.
Observação: isso corresponde ao caso usual onde a amostra é grande ou retirada com reposição, ou o lote é muito grande, de modo que cada inspeção tem probabilidade p de defeito independentemente das outras; esse é o modelo binomial, cuja esperança é n p.

Passo 7

Substituímos \mathrm{E}[X]=20p na fórmula do Passo 5:
\mathrm{E}[X-Y] = 2\cdot(20p) - 20 = 40p - 20.
Fatorando:
\mathrm{E}[X-Y] = 20(2p - 1).
Comentário amigo: como o enunciado não deu um valor numérico para p, essa é a forma mais explícita que podemos dar. Se por exemplo p=\tfrac{1}{2}, então \mathrm{E}[X-Y]=0; se p<\tfrac{1}{2} a esperança é negativa, e se p>\tfrac{1}{2} é positiva — isso faz sentido: mais defeituosos que não defeituosos (em média) quando p>1/2.

Resposta

\mathrm{E}[X-Y]=20(2p-1)

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