Suponha que a variável aleatória X tenha distribuição uniforme no intervalo [0,1], que a variável aleatória Y tenha distribuição uniforme no intervalo [5,9] e que X e Y sejam independentes. Suponha também que se deseja construir um retângulo cujos comprimentos de dois lados adjacentes são X e Y. Determine o valor esperado (médio) da área do retângulo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Temos \,X com distribuição uniforme no intervalo [0,1].
  • Temos \,Y com distribuição uniforme no intervalo [5,9].
  • \,X e \,Y são independentes.
  • Queremos o valor esperado (médio) da área de um retângulo cujos lados adjacentes têm comprimentos \,X e \,Y. Ou seja, queremos \mathbb{E}[XY].

Passo 2

Defino a variável aleatória área como \,A = X\cdot Y. O objetivo é calcular \mathbb{E}[A] = \mathbb{E}[XY].
Vou usar uma propriedade importante (que vou explicar): quando duas variáveis são independentes, o valor esperado do produto é o produto dos valores esperados. Assim, vou calcular \mathbb{E}[X] e \mathbb{E}[Y] e depois multiplicar. Isso é muito mais prático do que fazer a integral dupla diretamente, e é permitido porque o enunciado afirma independência.

Passo 3

Lembrete rápido sobre esperança para variáveis contínuas: se Z tem densidade de probabilidade f_Z(z), então
\mathbb{E}[Z]=\int_{-\infty}^{\infty} z\,f_Z(z)\,dz.
Para uma distribuição uniforme no intervalo [a,b] a densidade é
f_Z(z)=\frac{1}{b-a}\quad\text{para }a\le z\le b,
e zero fora. Substituindo na fórmula da esperança:
\mathbb{E}[Z]=\int_a^b z\cdot\frac{1}{b-a}\,dz=\frac{1}{b-a}\left[\frac{z^2}{2}\right]_a^b=\frac{a+b}{2}.
Ou seja: a média da uniforme em [a,b] é \frac{a+b}{2}. (Isso é intuitivo: é o ponto médio do intervalo.)

Passo 4

Calculo \mathbb{E}[X] aplicando a fórmula para [0,1]:
\mathbb{E}[X]=\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}.

Passo 5

Calculo \mathbb{E}[Y] aplicando a fórmula para [5,9]:
\mathbb{E}[Y]=\frac{5+9}{2}=\frac{14}{2}=7.

Passo 6

Agora uso a propriedade para variáveis independentes: se X e Y são independentes então
\mathbb{E}[XY]=\mathbb{E}[X]\cdot\mathbb{E}[Y].
(Sketch do porquê: \mathbb{E}[XY]=\iint xy\,f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy. Pela independência f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)f_Y(y), e a integral separa em (\int x f_X(x)\,dx)(\int y f_Y(y)\,dy).)

Passo 7

Multiplico os resultados:
\mathbb{E}[XY]=\mathbb{E}[X]\cdot\mathbb{E}[Y]=\frac{1}{2}\cdot 7=\frac{7}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{2}

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