Suponha que a variável aleatória
tenha distribuição uniforme no intervalo
, que a variável aleatória
tenha distribuição uniforme no intervalo [5,9] e que
e
sejam independentes. Suponha também que se deseja construir um retângulo cujos comprimentos de dois lados adjacentes são
e
. Determine o valor esperado (médio) da área do retângulo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Temos
com distribuição uniforme no intervalo . - Temos
com distribuição uniforme no intervalo . -
e são independentes. - Queremos o valor esperado (médio) da área de um retângulo cujos lados adjacentes têm comprimentos
e . Ou seja, queremos .
Passo 2
Defino a variável aleatória área como
. O objetivo é calcular
.
Vou usar uma propriedade importante (que vou explicar): quando duas variáveis são independentes, o valor esperado do produto é o produto dos valores esperados. Assim, vou calcular
e
e depois multiplicar. Isso é muito mais prático do que fazer a integral dupla diretamente, e é permitido porque o enunciado afirma independência.
Passo 3
Lembrete rápido sobre esperança para variáveis contínuas: se
tem densidade de probabilidade
, então
Para uma distribuição uniforme no intervalo
a densidade é
e zero fora. Substituindo na fórmula da esperança:
Ou seja: a média da uniforme em
é
. (Isso é intuitivo: é o ponto médio do intervalo.)
Passo 4
Calculo
aplicando a fórmula para
:
Passo 5
Calculo
aplicando a fórmula para
:
Passo 6
Agora uso a propriedade para variáveis independentes: se
e
são independentes então
(Sketch do porquê:
. Pela independência
, e a integral separa em
.)
Passo 7
Multiplico os resultados: