Suponha que X\) e \(Y\) tenham uma distribuição conjunta contínua para qual a função de densidade de probabilidade (d.p.) conjunta é dada da seguinte forma:
\(f_{x, y}(x, y)= \begin{cases}\frac{3}{2} y^{2} & \text { para } 0 \leq x \leq 2 \\\\ 0 & \text { caso contrairio. }\end{cases}
e pede para determinar as densidades marginais de X e de Y.
Informações relevantes fornecidas:
A expressão analítica da d.p. conjunta é \dfrac{3}{2}y^{2} quando 0\le x\le 2.
O enunciado não especificou explicitamente o intervalo de y; isso é importante porque as integrais que definem marginais precisam do suporte de y.
O que precisamos obter:
A f.d.p. marginal de X, ou seja, f_X(x).
A f.d.p. marginal de Y, ou seja, f_Y(y).]
Passo 2
Definição e ideia para calcular marginais (aula rápida e prática).
A densidade marginal de X, denotada por f_X(x), é obtida integrando a densidade conjunta em relação a y ao longo do suporte de y:
f_X(x)=\int_{\text{suporte de }y} f_{X,Y}(x,y)\,dy.
A densidade marginal de Y, denotada por f_Y(y), é obtida integrando a densidade conjunta em relação a x ao longo do suporte de x:
f_Y(y)=\int_{\text{suporte de }x} f_{X,Y}(x,y)\,dx.
Explicando: a marginal de X é a probabilidade “espalhada” em x quando não nos importamos com o valor de y; por isso somamos (integrando) todas as contribuições em y. O mesmo raciocínio vale para Y.
Passo 3
Determinar o suporte de y (precisamos disso para fazer as integrais).
Como o enunciado não deu explicitamente o intervalo de y, usamos a condição natural de que a d.p. conjunta deve integrar 1 em todo o plano:
\iint_{\mathbb{R}^2} f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy = 1.
Sabemos que f_{X,Y}(x,y)=\dfrac{3}{2}y^{2} só para 0\le x\le 2. Suponhamos que o suporte de y seja um intervalo [a,b]. Então
Portanto a escolha [0,1] para o suporte de y torna a densidade conjunta normalizada corretamente. Assim concluímos que a d.p. conjunta é não nula apenas no retângulo 0\le x\le 2,\;0\le y\le 1.
Observação amigável: poderia haver outras especificações para o suporte de y no enunciado, mas a única consistente com a forma dada e a normalização é 0\le y\le 1. Vamos usar esse suporte.
Passo 4
Cálculo da densidade marginal de X.
Usamos a fórmula
f_X(x)=\int_{0}^{1} f_{X,Y}(x,y)\,dy,
porque determinámos que y varia em [0,1] e f_{X,Y}(x,y)=\dfrac{3}{2}y^{2} para 0\le x\le 2.