Suponha que X\) e \(Y\) tenham uma distribuição conjunta contínua para qual a função de densidade de probabilidade (d.p.) conjunta é dada da seguinte forma: \(f_{x, y}(x, y)= \begin{cases}\frac{3}{2} y^{2} & \text { para } 0 \leq x \leq 2 \\\\ 0 & \text { caso contrairio. }\end{cases}
(a) Determine as f.d.p’s marginais de X e Y.

Passo 1

O enunciado dá a função de densidade conjunta
f_{X,Y}(x,y)=\begin{cases}\dfrac{3}{2}\,y^{2}&\text{para }0\le x\le 2\\[4pt]0&\text{caso contrário.}\end{cases}á
e pede para determinar as densidades marginais de X e de Y.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão analítica da d.p. conjunta é \dfrac{3}{2}y^{2} quando 0\le x\le 2.
  • O enunciado não especificou explicitamente o intervalo de y; isso é importante porque as integrais que definem marginais precisam do suporte de y.
O que precisamos obter:
  • A f.d.p. marginal de X, ou seja, f_X(x).
  • A f.d.p. marginal de Y, ou seja, f_Y(y).]

Passo 2

Definição e ideia para calcular marginais (aula rápida e prática).
  • A densidade marginal de X, denotada por f_X(x), é obtida integrando a densidade conjunta em relação a y ao longo do suporte de y:
f_X(x)=\int_{\text{suporte de }y} f_{X,Y}(x,y)\,dy.
  • A densidade marginal de Y, denotada por f_Y(y), é obtida integrando a densidade conjunta em relação a x ao longo do suporte de x:
f_Y(y)=\int_{\text{suporte de }x} f_{X,Y}(x,y)\,dx.
Explicando: a marginal de X é a probabilidade “espalhada” em x quando não nos importamos com o valor de y; por isso somamos (integrando) todas as contribuições em y. O mesmo raciocínio vale para Y.

Passo 3

Determinar o suporte de y (precisamos disso para fazer as integrais).
  • Como o enunciado não deu explicitamente o intervalo de y, usamos a condição natural de que a d.p. conjunta deve integrar 1 em todo o plano:
\iint_{\mathbb{R}^2} f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy = 1.
  • Sabemos que f_{X,Y}(x,y)=\dfrac{3}{2}y^{2} só para 0\le x\le 2. Suponhamos que o suporte de y seja um intervalo [a,b]. Então
\int_{x=0}^{2}\int_{y=a}^{b}\frac{3}{2}y^{2}\,dy\,dx = 1.
  • Como a função não depende de x dentro do retângulo, a integral em x dá um fator 2:
2\cdot\int_{a}^{b}\frac{3}{2}y^{2}\,dy = 1 \quad\Longrightarrow\quad 3\int_{a}^{b} y^{2}\,dy = 1.
  • Agora precisamos de um intervalo plausível [a,b]. Uma escolha natural e típica (e que torna o enunciado consistente) é a=0 e b=1. Verificamos:
3\int_{0}^{1} y^{2}\,dy = 3\cdot\left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = 3\cdot\frac{1}{3}=1.
Portanto a escolha [0,1] para o suporte de y torna a densidade conjunta normalizada corretamente. Assim concluímos que a d.p. conjunta é não nula apenas no retângulo 0\le x\le 2,\;0\le y\le 1.
Observação amigável: poderia haver outras especificações para o suporte de y no enunciado, mas a única consistente com a forma dada e a normalização é 0\le y\le 1. Vamos usar esse suporte.

Passo 4

Cálculo da densidade marginal de X.
  • Usamos a fórmula
f_X(x)=\int_{0}^{1} f_{X,Y}(x,y)\,dy,
porque determinámos que y varia em [0,1] e f_{X,Y}(x,y)=\dfrac{3}{2}y^{2} para 0\le x\le 2.
  • Para 0\le x\le 2 temos
f_X(x)=\int_{0}^{1}\frac{3}{2}y^{2}\,dy = \frac{3}{2}\cdot\left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{2}.
  • Para x fora de [0,2], a densidade conjunta é zero para todo y, logo f_X(x)=0.
  • Conclusão: f_X(x)=\dfrac{1}{2} para 0\le x\le 2, e f_X(x)=0 caso contrário. Intuição: X é uniforme em [0,2].

Passo 5

Cálculo da densidade marginal de Y.
  • Usamos a fórmula
f_Y(y)=\int_{0}^{2} f_{X,Y}(x,y)\,dx,
porque x varia em [0,2].
  • Para 0\le y\le 1 temos
f_Y(y)=\int_{0}^{2}\frac{3}{2}y^{2}\,dx = \frac{3}{2}y^{2}\cdot\left[ x \right]_{0}^{2} = \frac{3}{2}y^{2}\cdot 2 = 3y^{2}.
  • Para y fora de [0,1], a densidade conjunta é zero para todo x, logo f_Y(y)=0.
  • Conclusão: f_Y(y)=3y^{2} para 0\le y\le 1, e f_Y(y)=0 caso contrário.

Passo 6

Verificação rápida (bom costume na prova): checar que as marginais estão normalizadas.
  • Para X:
\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\,dx = \int_{0}^{2} \frac{1}{2}\,dx = \frac{1}{2}\cdot 2 = 1.
  • Para Y:
\int_{-\infty}^{\infty} f_Y(y)\,dy = \int_{0}^{1} 3y^{2}\,dy = 3\cdot\frac{1}{3}=1.
Tudo conferiu — estamos consistentes.

Resposta

f_X(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{2},&0\le x\le 2,\\[4pt]0,&\text{caso contrário.}\end{cases}á
f_Y(y)=\begin{cases}3y^{2},&0\le y\le 1,\\[4pt]0,&\text{caso contrário.}\end{cases}á]

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