Se
é limitado inferiormente, seja
o conjunto de todos os limites inferiores de
. Mostre que
, que
é limitado superiormente e que
é o maior limite inferior de
.
Passo 1
O enunciado: temos um conjunto não vazio A que é limitado inferiormente (isto é, há limites inferiores de A). Definimos B como o conjunto de todos esses limites inferiores de A. O objetivo é mostrar que B não é vazio, que B é limitado superiormente e que $\sup B$ é o maior limite inferior de A (isto é, o ínfimo de A).
Passo 2
Como A é limitado inferiormente, existe algum número $m$ tal que $m \le a$ para todo $a \in A$. Por definição, esse $m$ pertence a B, pois B contém todos os limites inferiores de A. Logo, B não é vazio.
Passo 3
Para ver que B é limitado superiormente, basta pegar qualquer elemento $a_0 \in A$. Se $b \in B$, então $b$ é limite inferior de A e, em particular, $b \le a_0$. Assim, $a_0$ é uma cota superior de B e B é limitado superiormente.
Passo 4
Como B é não vazio e limitado superiormente, pelo axioma do supremo no conjunto dos reais, existe $\sup B$ em $\mathbb{R}$$.
Passo 5
Agora mostramos que $\sup B$ é limite inferior de A. Seja $a$ um elemento arbitrário de A. Então, como todo $b \in B$ satisfaz $b \le a$, e $\sup B$ é o menor dos limites superiores de B, segue que $\sup B \le a$. Logo, $\sup B$ também é limite inferior de A.
Passo 6
Por fim, para ver que $\sup B$ é o maior limite inferior de A, basta usar a propriedade do supremo: para qualquer $b \in B$ (isto é, qualquer limite inferior de A), temos $b \le \sup B$. Portanto $\sup B$ é o maior elemento de B e, consequentemente, o maior limite inferior de A.