Suponha que o estado de uma partícula seja descrito por uma função de onda monocromática:
Psi(x, t)=A e^i(k x-omega t)
Calcule a densidade de corrente de probabilidade e interprete o resultado. Troque Psi pela função de onda estacionária e repita os cálculos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para calcular a densidade de corrente de probabilidade para uma partícula cuja função de onda é dada por:
Psi(x, t) = A e^i(k x - omega t)
Depois, precisamos substituir Psi por uma função de onda estacionária e refazer os cálculos. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de mecânica quântica, como a função de onda, a densidade de probabilidade e a densidade de corrente de probabilidade. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a densidade de corrente de probabilidade ( J) nos dá uma ideia de como a probabilidade de encontrar a partícula se move no espaço. A fórmula para J em uma dimensão é:
J = hbar2mi ( Psi^* partial Psipartial x - Psi partial Psi^*partial x )
Aqui, hbar é a constante de Planck reduzida, m é a massa da partícula, Psi é a função de onda, e Psi^* é o complexo conjugado de Psi.

Passo 3

Vamos calcular J para a função de onda dada:
Psi(x, t) = A e^i(k x - omega t)
Primeiro, encontramos o complexo conjugado de Psi:
Psi^*(x, t) = A e^-i(k x - omega t)
Agora, calculamos as derivadas parciais em relação a x:
partial Psipartial x = A cdot i k e^i(k x - omega t) = i k Psi
partial Psi^*partial x = -i k Psi^*

Passo 4

Substituindo esses resultados na expressão de J:
J = hbar2mi ( Psi^* (i k Psi) - Psi (-i k Psi^*) )
Simplificando dentro dos parênteses:
J = hbar2mi ( i k |Psi|^2 + i k |Psi|^2 ) = hbar2mi cdot 2 i k |Psi|^2
Os i se cancelam, e multiplicando os termos restantes:
J = hbar km |Psi|^2

Passo 5

Agora, interpretando o resultado:
J = hbar km |Psi|^2
A densidade de corrente de probabilidade é proporcional a |Psi|^2, que é a densidade de probabilidade de encontrar a partícula em uma posição x no tempo t. O fator hbar km indica a velocidade média da partícula. Portanto, J representa o fluxo de probabilidade associada à partícula se movendo com essa velocidade.

Passo 6

Agora, vamos trocar Psi pela função de onda estacionária. Uma função de onda estacionária geralmente tem a forma:
Psi(x) = A e^i k x
Note que não há dependência temporal ( t). Vamos repetir os cálculos da densidade de corrente de probabilidade para essa função.
Primeiro, o complexo conjugado:
Psi^*(x) = A e^-i k x
As derivadas parciais em relação a x:
partial Psipartial x = i k Psi
partial Psi^*partial x = -i k Psi^*

Passo 7

Substituindo na expressão de J:
J = hbar2mi ( Psi^* (i k Psi) - Psi (-i k Psi^*) )
Simplificando:
J = hbar2mi ( i k |Psi|^2 + i k |Psi|^2 ) = hbar km |Psi|^2

Resposta

A densidade de corrente de probabilidade para ambas as funções de onda é:
J = hbar km |Psi|^2
Isso indica que a partícula tem um fluxo de probabilidade proporcional à sua densidade de probabilidade |Psi|^2 e uma velocidade média hbar km. No caso da função de onda estacionária, a ausência da dependência temporal não altera o resultado da densidade de corrente de probabilidade.

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