Suponha que o estado de uma partícula seja descrito por uma função de onda monocromática:
Calcule a densidade de corrente de probabilidade e interprete o resultado. Troque
pela função de onda estacionária e repita os cálculos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para calcular a densidade de corrente de probabilidade para uma partícula cuja função de onda é dada por:
Depois, precisamos substituir
por uma função de onda estacionária e refazer os cálculos. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de mecânica quântica, como a função de onda, a densidade de probabilidade e a densidade de corrente de probabilidade. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a densidade de corrente de probabilidade (
) nos dá uma ideia de como a probabilidade de encontrar a partícula se move no espaço. A fórmula para
em uma dimensão é:
Aqui,
é a constante de Planck reduzida,
é a massa da partícula,
é a função de onda, e
é o complexo conjugado de
.
Passo 3
Vamos calcular
para a função de onda dada:
Primeiro, encontramos o complexo conjugado de
:
Agora, calculamos as derivadas parciais em relação a
:
Passo 4
Substituindo esses resultados na expressão de
:
Simplificando dentro dos parênteses:
Os
se cancelam, e multiplicando os termos restantes:
Passo 5
Agora, interpretando o resultado:
A densidade de corrente de probabilidade é proporcional a
, que é a densidade de probabilidade de encontrar a partícula em uma posição
no tempo
. O fator
indica a velocidade média da partícula. Portanto,
representa o fluxo de probabilidade associada à partícula se movendo com essa velocidade.
Passo 6
Agora, vamos trocar
pela função de onda estacionária. Uma função de onda estacionária geralmente tem a forma:
Note que não há dependência temporal (
). Vamos repetir os cálculos da densidade de corrente de probabilidade para essa função.
Primeiro, o complexo conjugado:
As derivadas parciais em relação a
:
Passo 7
Substituindo na expressão de
:
Simplificando:
Resposta
A densidade de corrente de probabilidade para ambas as funções de onda é:
Isso indica que a partícula tem um fluxo de probabilidade proporcional à sua densidade de probabilidade
e uma velocidade média
. No caso da função de onda estacionária, a ausência da dependência temporal não altera o resultado da densidade de corrente de probabilidade.