Suponha que a quantidade de bens produzidos por uma fábrica possa ser modelada em função do número x de empregados, por uma função derivável p(x), em que p(x) é medida em milhares e x em centenas. A produtividade média por empregado é então dada pela função M(x)=p(x) / x, e pode-se mostrar que o número x0 de empregados que maximiza a função M(x) é aquele para o qual M^prime(x0)=0.
Use o item anterior para justificar a afirmação de que M^prime(x0)=0 se, e somente se, p^prime(x0)=M(x0).

Passo 1

A função que queremos analisar é a produtividade média por empregado, dada por M(x)=p(x)/x. Para derivá-la, usamos a regra do quociente, que diz que para f(x)=u(x)/v(x) vale f’(x)=(u’(x)v(x)−u(x)v’(x))/[v(x)]².

Passo 2

Aplicando essa regra em M(x)=p(x)/x, temos u(x)=p(x) e v(x)=x. Logo,
M'(x)=x,p'(x) - p(x)cdot1x^2

Passo 3

Para que M’(x₀)=0, o numerador precisa ser zero:
x₀,p'(x₀) - p(x₀)=0Longrightarrow p'(x₀)=p(x₀)x₀ Mas a definição de M(x₀) é justamente p(x₀)/x₀. Assim obtemos p’(x₀)=M(x₀).

Passo 4

O mesmo raciocínio vale de forma reversa: se p’(x₀)=M(x₀), então x₀p’(x₀)−p(x₀)=0 e portanto M’(x₀)=0. Isso mostra a equivalência desejada.

Resposta

p’(x₀) = M(x₀)

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