Suponha que a quantidade de bens produzidos por uma fábrica possa ser modelada em função do número
de empregados, por uma função derivável
, em que
é medida em milhares e
em centenas. A produtividade média por empregado é então dada pela função
, e pode-se mostrar que o número
de empregados que maximiza a função
é aquele para o qual
.
Use o item anterior para justificar a afirmação de que
se, e somente se,
.
Use o item anterior para justificar a afirmação de que
Passo 1
A função que queremos analisar é a produtividade média por empregado, dada por M(x)=p(x)/x. Para derivá-la, usamos a regra do quociente, que diz que para f(x)=u(x)/v(x) vale f’(x)=(u’(x)v(x)−u(x)v’(x))/[v(x)]².
Passo 2
Aplicando essa regra em M(x)=p(x)/x, temos u(x)=p(x) e v(x)=x. Logo,
Passo 3
Para que M’(x₀)=0, o numerador precisa ser zero:
Passo 4
O mesmo raciocínio vale de forma reversa: se p’(x₀)=M(x₀), então x₀p’(x₀)−p(x₀)=0 e portanto M’(x₀)=0. Isso mostra a equivalência desejada.
Resposta
p’(x₀) = M(x₀)