Suponha que o vetor aceleração de um projétil seja dado por a(t)=(-3 cost,-3 sent, 2 ) e que inicialmente (no instante t=0 ) partiu do ponto ( 3,0,0 ) com velocidade v(0)= (0,3,0). Determinar a posição do projétil como função de t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a aceleração de um projétil em função do tempo, que é a(t) = (-3 cos t, -3 sin t, 2). Além disso, sabemos a posição inicial (3, 0, 0) e a velocidade inicial v(0) = (0, 3, 0). Nosso objetivo aqui é encontrar a posição do projétil em qualquer instante de tempo t. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração, para passar da aceleração para a velocidade e, depois, da velocidade para a posição.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a aceleração para encontrar a velocidade. A aceleração é a derivada da velocidade, então a velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo.
v(t) = integral a(t) , dt + v(0)
Vamos integrar cada componente de a(t) separadamente.

Passo 3

Integrando a primeira componente da aceleração:
integral -3 cos t , dt = -3 integral cos t , dt = -3 sin t + C1
Onde C1 é a constante de integração para a primeira componente.

Passo 4

Integrando a segunda componente da aceleração:
integral -3 sin t , dt = -3 integral sin t , dt = 3 cos t + C2
Aqui, C2 é a constante de integração para a segunda componente.

Passo 5

Integrando a terceira componente da aceleração:
integral 2 , dt = 2t + C3
C3 é a constante de integração para a terceira componente.

Passo 6

Agora, juntamos tudo para obter a velocidade v(t):
v(t) = (-3 sin t + C1, , 3 cos t + C2, , 2t + C3)
Sabemos que a velocidade inicial é v(0) = (0, 3, 0). Vamos usar isso para encontrar as constantes de integração.

Passo 7

Aplicando t = 0 na expressão de v(t):
v(0) = (-3 sin 0 + C1, , 3 cos 0 + C2, , 2 cdot 0 + C3) = (C1, , 3 + C2, , C3) = (0, 3, 0)
Isso nos dá:
  • C1 = 0
  • 3 + C2 = 3 Rightarrow C2 = 0
  • C3 = 0
Então, a expressão simplificada para v(t) é:
v(t) = (-3 sin t, , 3 cos t, , 2t)

Passo 8

Agora, vamos integrar a velocidade para encontrar a posição s(t). A velocidade é a derivada da posição, então a posição é a integral da velocidade em relação ao tempo.
s(t) = integral v(t) , dt + s(0)
Vamos integrar cada componente de v(t) separadamente.

Passo 9

Integrando a primeira componente da velocidade:
integral -3 sin t , dt = 3 cos t + D1
Onde D1 é a constante de integração para a primeira componente.

Passo 10

Integrando a segunda componente da velocidade:
integral 3 cos t , dt = 3 sin t + D2
D2 é a constante de integração para a segunda componente.

Passo 11

Integrando a terceira componente da velocidade:
integral 2t , dt = t^2 + D3
D3 é a constante de integração para a terceira componente.

Passo 12

Juntando tudo para obter a posição s(t):
s(t) = (3 cos t + D1, , 3 sin t + D2, , t^2 + D3)
Sabemos que a posição inicial é s(0) = (3, 0, 0). Vamos usar isso para encontrar as constantes de integração.

Passo 13

Aplicando t = 0 na expressão de s(t):
s(0) = (3 cos 0 + D1, , 3 sin 0 + D2, , 0^2 + D3) = (3 + D1, , 0 + D2, , D3) = (3, 0, 0)
Isso nos dá:
  • 3 + D1 = 3 Rightarrow D1 = 0
  • D2 = 0
  • D3 = 0
Então, a expressão final para s(t) é:
s(t) = (3 cos t, , 3 sin t, , t^2)

Resposta

A posição do projétil em função do tempo t é:
s(t) = (3 cos t, , 3 sin t, , t^2)

Exercícios relacionados