Suponha que o vetor aceleração de um projétil seja dado por
sent, 2
e que inicialmente (no instante
) partiu do ponto (
) com velocidade
. Determinar a posição do projétil como função de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a aceleração de um projétil em função do tempo, que é
. Além disso, sabemos a posição inicial
e a velocidade inicial
. Nosso objetivo aqui é encontrar a posição do projétil em qualquer instante de tempo
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração, para passar da aceleração para a velocidade e, depois, da velocidade para a posição.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a aceleração para encontrar a velocidade. A aceleração é a derivada da velocidade, então a velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo.
Vamos integrar cada componente de
separadamente.
Passo 3
Integrando a primeira componente da aceleração:
Onde
é a constante de integração para a primeira componente.
Passo 4
Integrando a segunda componente da aceleração:
Aqui,
é a constante de integração para a segunda componente.
Passo 5
Integrando a terceira componente da aceleração:
Passo 6
Agora, juntamos tudo para obter a velocidade
:
Sabemos que a velocidade inicial é
. Vamos usar isso para encontrar as constantes de integração.
Passo 7
Aplicando
na expressão de
:
Isso nos dá:
Então, a expressão simplificada para
é:
Passo 8
Agora, vamos integrar a velocidade para encontrar a posição
. A velocidade é a derivada da posição, então a posição é a integral da velocidade em relação ao tempo.
Vamos integrar cada componente de
separadamente.
Passo 9
Integrando a primeira componente da velocidade:
Onde
é a constante de integração para a primeira componente.
Passo 10
Integrando a segunda componente da velocidade:
Passo 11
Integrando a terceira componente da velocidade:
Passo 12
Juntando tudo para obter a posição
:
Sabemos que a posição inicial é
. Vamos usar isso para encontrar as constantes de integração.
Passo 13
Aplicando
na expressão de
:
Isso nos dá:
Então, a expressão final para
é:
Resposta
A posição do projétil em função do tempo
é: