Suponha que a quantidade de frutos, em dezenas, produzidos anualmente por uma árvore seja calculada pela função: q(t)=2^t / 4+112.
© (1,0 ponto) Determine em qual ano o consumo de água quadruplicou em relação ao consumo do ano 2000. (Considere log 2=0,3 e log 5=0,7 ).

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função que calcula a quantidade de frutos produzidos por uma árvore a cada ano: , onde é o tempo em anos a partir do ano 2000. A pergunta é: em qual ano o consumo de água quadruplicou em relação ao consumo do ano 2000. Para resolver isso, vamos precisar usar logaritmos e entender como a função evolui ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar que o consumo de água está diretamente relacionado à quantidade de frutos produzidos. Então, se o consumo quadruplicar, a quantidade de frutos também quadruplicará.
Matematicamente, queremos encontrar q(t) = 4 times q(0) tal que:
Onde é a quantidade de frutos no ano 2000.

Passo 3

Vamos calcular q(0) = 2^04 + 112 = 2^0 + 112 = 1 + 112 = 113 :
q(t) = 4 times 113 = 452
Então, queremos que:

Passo 4

Substituindo na função 2^t4 + 112 = 452 :
2^t4 = 452 - 112 = 340
Vamos isolar a parte exponencial:

Passo 5

Agora, vamos aplicar o logaritmo para resolver para log(2^t4) = log(340) . Usaremos logaritmo na base 10:
t4 log(2) = log(340)
Usando a propriedade dos logaritmos t4 times 0,3 = log(340) :
Substituindo os valores fornecidos ( ):

Passo 6

Precisamos calcular log(340) = log(34 times 10) = log(34) + log(10) approx 1,5315 + 1 = 2,5315 . Podemos aproximar:
t4 times 0,3 = 2,5315
Agora, substituindo de volta:

Passo 7

Isolando t4 = 2,53150,3 approx 8,4383 :
t = 8,4383 times 4 approx 33,7532

Passo 8

Como t approx 34 anos representa anos após 2000, arredondamos para o ano inteiro mais próximo:
2000 + 34 = 2034
Então, o ano será:

Resposta

O consumo de água quadruplicou em relação ao ano 2000 no ano de 2034.

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