Suponha que a quantidade de frutos, em dezenas, produzidos anualmente por uma árvore seja calculada pela função:
.
© (1,0 ponto) Determine em qual ano o consumo de água quadruplicou em relação ao consumo do ano 2000. (Considere
e
).
© (1,0 ponto) Determine em qual ano o consumo de água quadruplicou em relação ao consumo do ano 2000. (Considere
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função que calcula a quantidade de frutos produzidos por uma árvore a cada ano:
, onde
é o tempo em anos a partir do ano 2000. A pergunta é: em qual ano o consumo de água quadruplicou em relação ao consumo do ano 2000. Para resolver isso, vamos precisar usar logaritmos e entender como a função
evolui ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar que o consumo de água está diretamente relacionado à quantidade de frutos produzidos. Então, se o consumo quadruplicar, a quantidade de frutos também quadruplicará.
Matematicamente, queremos encontrar
tal que:
Onde
é a quantidade de frutos no ano 2000.
Passo 3
Vamos calcular
:
Então, queremos que:
Passo 4
Substituindo na função
:
Vamos isolar a parte exponencial:
Passo 5
Agora, vamos aplicar o logaritmo para resolver para
. Usaremos logaritmo na base 10:
Usando a propriedade dos logaritmos
:
Substituindo os valores fornecidos (
):
Passo 6
Precisamos calcular
. Podemos aproximar:
Agora, substituindo de volta:
Passo 7
Isolando
:
Passo 8
Como
representa anos após 2000, arredondamos para o ano inteiro mais próximo:
Então, o ano será:
Resposta
O consumo de água quadruplicou em relação ao ano 2000 no ano de 2034.