Use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada.
x y^prime prime-y^prime+4 x^3 y=0, x>0 ; y1(x)=sen(x^2)

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos encontrar uma segunda solução da EDO
x,y'' - y' + 4x^3,y = 0, x>0,
sabendo que uma solução é y1(x)=sin(x^2). O conteúdo aqui é método de redução de ordem.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação em forma padrão dividindo por x:
y'' - 1xy' + 4x^2y = 0
Aqui identificamos
P(x) = -1x

Passo 3

No método de redução de ordem assumimos
y2(x) = v(x),y1(x),
e definimos u(x) = v'(x). A teoria mostra que
u(x) = e^-integral P(x),dxy1(x)^2

Passo 4

Calculamos o fator exponencial:
e^-integral P(x),dx = e^-integral(-1/x),dx = e^ln x = x
Logo
u(x) = xsin^2(x^2)

Passo 5

Agora integramos para achar v(x):
v(x) = integral u(x),dx = integral xsin^2(x^2),dx
Fazendo a troca t = x^2implies dt = 2x,dx, obtemos
v(x) = tfrac12 integral dtsin^2t = -tfrac12 cot t + C = -tfrac12 cot(x^2) + C
Desprezando a constante de multiplicação, escolhemos
v(x) = -tfrac12 cot(x^2)

Passo 6

Finalmente
y2(x) = v(x),y1(x) = -tfrac12 cot(x^2),sin(x^2) = -tfrac12 cos(x^2)
Como podemos multiplicar por qualquer constante, uma forma simples da segunda solução é
y2(x) = cos(x^2)

Resposta

y2(x)=cos(x^2)

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