Mostre que uma onda senoidal propagando-se ao longo do eixo X se repete após uma distância igual ao seu comprimento de onda.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que uma onda senoidal que se propaga ao longo do eixo X se repete após uma distância igual ao seu comprimento de onda. O conteúdo aqui é periodicidade espacial de ondas. Para resolver, vamos usar a forma geral de uma onda senoidal, a relação entre comprimento de onda \lambda e número de onda k, e a propriedade de periodicidade da função seno.

Passo 2

A forma geral de uma onda senoidal unidimensional é
f(x,t)=A\sin\bigl(kx-\omega t+\varphi\bigr),
onde A é a amplitude, k é o número de onda, \omega é a frequência angular e \varphi é a fase inicial. Sabemos que número de onda e comprimento de onda estão relacionados por
k = \frac{2\pi}{\lambda}.

Passo 3

Para testar a periodicidade espacial, substituímos x por x+\lambda:
f(x+\lambda,t)=A\sin\bigl(k(x+\lambda)-\omega t+\varphi\bigr).

Passo 4

Dentro do argumento do seno temos
k(x+\lambda)-\omega t+\varphi = kx + k\lambda - \omega t + \varphi.
Como k\lambda = 2\pi, segue-se
k(x+\lambda)-\omega t+\varphi = kx-\omega t+\varphi + 2\pi.

Passo 5

Usando a propriedade \sin(\theta+2\pi)=\sin\theta, obtemos
f(x+\lambda,t) = A\sin\bigl(kx-\omega t+\varphi + 2\pi\bigr) = A\sin\bigl(kx-\omega t+\varphi\bigr) = f(x,t).

Resposta

Mostramos que
f(x+\lambda,t)=f(x,t),
ou seja, a onda senoidal se repete após uma distância igual ao seu comprimento de onda \lambda.

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