Mostre que \xi=f(x \pm v t) é a solução geral da equação de onda em 1 dimensão.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que qualquer função da forma \xi(x,t)=f(x\pm vt)
satisfaz a equação de onda unidimensional
\frac{\partial^2\xi}{\partial t^2}-v^2\frac{\partial^2\xi}{\partial x^2}=0.
Para isso vamos usar a regra da cadeia e calcular as derivadas parciais de \xi.

Passo 2

Defina
u = x \pm vt, \qquad \xi(x,t)=f(u).
Pela regra da cadeia temos
\frac{\partial \xi}{\partial x} = f'(u)\frac{\partial u}{\partial x} = f'(u), \quad \frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(f'(u)\bigr) = f''(u)\frac{\partial u}{\partial x} = f''(u).

Passo 3

De modo análogo para a derivada em t:
\frac{\partial \xi}{\partial t} = f'(u)\frac{\partial u}{\partial t} = \pm v\,f'(u), \quad \frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2} = \frac{\partial}{\partial t}\bigl(\pm v\,f'(u)\bigr) = v^2\,f''(u).

Passo 4

Substituindo na equação de onda:
\frac{\partial^2\xi}{\partial t^2} - v^2\frac{\partial^2\xi}{\partial x^2} = v^2f''(u)-v^2f''(u) =0.
Logo \xi(x,t)=f(x\pm vt) satisfaz a equação de onda. Como ela é linear, a forma geral é
\xi(x,t)=F(x-vt)+G(x+vt),
mas cada termo f(x\pm vt) já é solução isolada.

Resposta

\displaystyle \xi(x,t)=f(x\pm vt) satisfaz a equação de onda em uma dimensão.

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