Mostre que
é a solução geral da equação de onda em 1 dimensão.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que qualquer função da forma
satisfaz a equação de onda unidimensional
satisfaz a equação de onda unidimensional
Para isso vamos usar a regra da cadeia e calcular as derivadas parciais de
.
Passo 2
Defina
Pela regra da cadeia temos
Passo 3
De modo análogo para a derivada em
:
Passo 4
Substituindo na equação de onda:
Logo
satisfaz a equação de onda. Como ela é linear, a forma geral é
mas cada termo
já é solução isolada.