1. Suponha que a região A do plano, situada no semiplano y >= 0, possa ser dividida em duas partes A1 e A2 às quais se aplica, em relação ao eixo x, o teorema de Papus. Suponha, ainda, que a área de A seja igual à soma das áreas de A1 e A2 e Vx=V1 x+V2 x onde V1 x, V2 x e Vx são os volumes respectivos dos sólidos obtidos, pela rotação em torno do eixo x, de A1, A2 e A. Mostre que, em relação ao eixo x, o teorema de Papus aplica-se, também, a A. (Estabeleça resultado análogo em relação ao eixo y, supondo A situada no semiplano x >= 0.)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se uma região A em y>=0 é união disjunta de A1 e A2 e já satisfaz
área(A)=área(A1)+área(A2), Vx=V1x+V2x, ááá
e se o Teorema de Pappus vale para cada uma de A1 e A2 ao girar em torno do eixo x, então ele também vale para A. Vamos usar a definição de centróide e a aditividade de áreas e volumes.

Passo 2

Pelo Teorema de Pappus, para i=1,2 temos
Vix=2pi,yi,área(Ai), á
onde yi é a ordenada do centróide de Ai e área(Ai)á sua área.

Passo 3

Pela aditividade dos volumes,
Vx=V1x+V2x =2pil(y1,área(A1)+y2,área(A2)r) áá

Passo 4

A ordenada y do centróide de A satisfaz a definição de média ponderada:
y =y1,área(A1)+y2,área(A2) área(A1)+área(A2) =y1,área(A1)+y2,área(A2) área(A) ááááááá

Passo 5

Substituindo na expressão de Vx,
Vx =2pi,área(A),y, á
que é exatamente a fórmula do Teorema de Pappus para a região A girada em torno do eixo x.

Passo 6

Analogamente, se a região A estiver em x>=0 e se o Teorema de Pappus valer para as partes A1 e A2 em relação ao eixo y, então pela mesma argumentação de aditividade de área, aditividade de volume e definição de abscissa do centróide, conclui-se
Vy=2pi,área(A),x, á
mostrando que o Teorema de Pappus vale também para A girando em torno de y.

Resposta

O Teorema de Pappus vale para A tanto em torno do eixo x quanto em torno do eixo y.

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