Suponha que a região do plano, situada no semiplano , possa ser dividida em duas partes e às quais se aplica, em relação ao eixo , o teorema de Papus. Suponha, ainda, que a área de seja igual à soma das áreas de e e onde e são os volumes respectivos dos sólidos obtidos, pela rotação em torno do eixo , de e . Mostre que, em relação ao eixo , o teorema de Papus aplica-se, também, a . (Estabeleça resultado análogo em relação ao eixo , supondo situada no semiplano .)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se uma região em é união disjunta de e e já satisfaz
e se o Teorema de Pappus vale para cada uma de e ao girar em torno do eixo , então ele também vale para . Vamos usar a definição de centróide e a aditividade de áreas e volumes.
Passo 2
Pelo Teorema de Pappus, para temos
onde yi é a ordenada do centróide de Ai e área(Ai)á sua área.
Passo 3
Pela aditividade dos volumes,
Vx=V1x+V2x =2pil(y1,área(A1)+y2,área(A2)r) áá
Passo 4
A ordenada y do centróide de A satisfaz a definição de média ponderada:
y =y1,área(A1)+y2,área(A2) área(A1)+área(A2) =y1,área(A1)+y2,área(A2) área(A) ááááááá
Passo 5
Substituindo na expressão de Vx,
Vx =2pi,área(A),y, á
que é exatamente a fórmula do Teorema de Pappus para a região A girada em torno do eixo x.
Passo 6
Analogamente, se a região A estiver em x>=0 e se o Teorema de Pappus valer para as partes A1 e A2 em relação ao eixo y, então pela mesma argumentação de aditividade de área, aditividade de volume e definição de abscissa do centróide, conclui-se
Vy=2pi,área(A),x, á
mostrando que o Teorema de Pappus vale também para A girando em torno de y.
Resposta
O Teorema de Pappus vale para A tanto em torno do eixo x quanto em torno do eixo y.