Questāo 4 (2.5 pontos):
Um determinado material radioativo decai a uma taxa proporcional à quantidade de material presente num determinado tempo. Determine a meia-vida T se o material perde um terço da sua massa em 12 dias. A meia-vida de uma substância radioativa é o tempo que a substância leva para que sua massa decaia à metade da quantidade original.
Dados: Admita \ln 2=0,69 e \ln 3=1,09.
\frac{3 B_{O}}{3}-\frac{1}{3} B O=\frac{2}{3} B O

Passo 1

O enunciado pede: determinar a meia-vida T (tempo para a massa decair à metade) sabendo que o material perde um terço da sua massa em 12 dias. Informações relevantes fornecidas:
  • Decaimento à taxa proporcional à quantidade presente (modelo de decaimento exponencial).
  • Após 12 dias sobra \tfrac{2}{3} da massa inicial.
  • Valores dados: \ln 2 = 0,69 e \ln 3 = 1,09.

Passo 2

Modelo matemático do decaimento radioativo (explicando bem): se A(t) é a massa no tempo t e a taxa de perda é proporcional à massa, escrevemos a equação diferencial
\frac{dA}{dt} = -kA,
onde k>0 é a constante de decaimento (medida em dias^{-1}). Isso significa: a variação instantânea da massa é igual a -k vezes a massa atual — perda proporcional.
Resolvendo por separação de variáveis:
\frac{dA}{A} = -k\,dt.
Integrando ambos os lados desde t=0 (massa inicial A_0) até tempo t:
\int_{A_0}^{A(t)} \frac{dA}{A} = \int_{0}^{t} -k\,dt \quad\Rightarrow\quad \ln\!\big(\tfrac{A(t)}{A_0}\big) = -kt.
Exponenciando,
A(t)=A_0 e^{-kt}.
Aqui A_0 é a massa inicial e k quantifica a rapidez do decaimento.

Passo 3

Usar a condição “perde um terço em 12 dias” — ou seja, sobra \tfrac{2}{3} da massa inicial em t=12:
A(12)=A_0 e^{-12k} = \tfrac{2}{3}A_0.
Cancelando A_0:
e^{-12k} = \tfrac{2}{3}.
Tomando logaritmo natural:
-12k = \ln\!\big(\tfrac{2}{3}\big) = \ln 2 - \ln 3.
Usando os valores fornecidos: \ln 2 = 0,69 e \ln 3 = 1,09, temos
\ln\!\big(\tfrac{2}{3}\big)=0,69-1,09=-0,40.
Logo
-12k = -0,40 \quad\Rightarrow\quad k = \frac{0,40}{12}.
Fazendo a conta: 0,40/12 = 0,03333\ldots, que é exatamente \tfrac{1}{30}. Assim
k=\tfrac{1}{30}\\ \text{dias}^{-1}.

Passo 4

Definição de meia-vida aplicada ao modelo: a meia-vida T é o tempo tal que A(T)=\tfrac{1}{2}A_0. Pelo modelo,
A(T)=A_0 e^{-kT} = \tfrac{1}{2}A_0.
Cancelando A_0 e tomando logaritmo,
e^{-kT}=\tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad -kT = \ln\!\big(\tfrac{1}{2}\big) = -\ln 2.
Isolando T,
T = \frac{\ln 2}{k}.
Essa é a fórmula geral da meia-vida em decaimento exponencial: T=\dfrac{\ln 2}{k}. (Aqui \ln 2 é conhecido.)

Passo 5

Substituir k=\tfrac{1}{30} e \ln 2 = 0,69:
T = \frac{0,69}{1/30} = 0,69 \times 30.
Calcular:
0,69 \times 30 = 20,7.
Portanto a meia-vida é 20,7 dias.

Resposta

T=20,7\\ \text{dias}

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