Questāo 4 (2.5 pontos):
Um determinado material radioativo decai a uma taxa proporcional à quantidade de material presente num determinado tempo. Determine a meia-vida
se o material perde um terço da sua massa em 12 dias. A meia-vida de uma substância radioativa é o tempo que a substância leva para que sua massa decaia à metade da quantidade original.
Dados: Admita
e
.
Um determinado material radioativo decai a uma taxa proporcional à quantidade de material presente num determinado tempo. Determine a meia-vida
Dados: Admita
Passo 1
O enunciado pede: determinar a meia-vida
(tempo para a massa decair à metade) sabendo que o material perde um terço da sua massa em 12 dias. Informações relevantes fornecidas:
- Decaimento à taxa proporcional à quantidade presente (modelo de decaimento exponencial).
- Após
dias sobra da massa inicial. - Valores dados:
e .
Passo 2
Modelo matemático do decaimento radioativo (explicando bem): se
é a massa no tempo
e a taxa de perda é proporcional à massa, escrevemos a equação diferencial
onde
é a constante de decaimento (medida em dias^{-1}). Isso significa: a variação instantânea da massa é igual a
vezes a massa atual — perda proporcional.
Resolvendo por separação de variáveis:
Integrando ambos os lados desde
(massa inicial
) até tempo
:
Exponenciando,
Aqui
é a massa inicial e
quantifica a rapidez do decaimento.
Passo 3
Usar a condição “perde um terço em 12 dias” — ou seja, sobra
da massa inicial em
:
Cancelando
:
Tomando logaritmo natural:
Usando os valores fornecidos:
e
, temos
Logo
Fazendo a conta:
, que é exatamente
. Assim
Passo 4
Definição de meia-vida aplicada ao modelo: a meia-vida
é o tempo tal que
. Pelo modelo,
Cancelando
e tomando logaritmo,
Isolando
,
Essa é a fórmula geral da meia-vida em decaimento exponencial:
. (Aqui
é conhecido.)
Passo 5
Substituir
e
:
Calcular:
Portanto a meia-vida é
dias.