Suponha que
represente uma distribuição de temperatura no plano. Seja
. Determine o ponto de
de menor temperatura.
Passo 1
A questão apresenta uma distribuição de temperatura no plano dada por T(x,y)=5−3x²−5y² e define o conjunto A = {(x,y)∈ℝ²; x≥0, y≥0, x+7y≤19}. Precisamos achar, dentro desse triângulo fechado, o ponto onde T é mínima.
Passo 2
Primeiro observamos que T(x,y) é uma forma quadrática rígida negativa (coeficientes −3 e −5), ou seja, seu único ponto crítico no interior (∇T=0 → (x,y)=(0,0)) é um máximo. Logo, o mínimo em A ocorre necessariamente na fronteira de A.
Passo 3
Como T decresce conforme x ou y crescem, equivalem em achar o ponto de A que maximize Q(x,y)=3x²+5y². Precisamos então verificar as arestas de A: x=0, y∈[0,19/7]; y=0, x∈[0,19]; e x+7y=19 com x,y≥0.
Passo 4
Na aresta x=0 vale Q(0,y)=5y², que cresce até y=19/7, dando Q=5⋅(19/7)²≈36.84. Na aresta y=0 vale Q(x,0)=3x², que cresce até x=19, dando Q=3⋅19²=1083. Na reta x+7y=19, parametrizando x=19−7y, obtemos função convexa de y cujo máximo nos extremos coincide com os casos já avaliados (mesmos pontos (19,0) e (0,19/7)).
Passo 5
Comparando os valores, o maior Q ocorre em (x,y)=(19,0), portanto é aí que T atinge o valor mínimo T(19,0)=5−3⋅19²=5−1083=−1078.
Resposta
(19,0)